Предложения по учебникам Real, Анализ Фурье?

Я бы определенно рекомендовал малыша Рудина для общего вводного анализа, его учебник для продолжения также является моей любимой книгой по анализу. Анализ Фурье обычно очень зависит от интегрирования по Лебегу. Книга, в которой используется только интеграл Римана (если я правильно помню), является первой книгой Дитмара .

Путь, который я выбрал в гармоническом анализе, начинался с «Краткого введения в интеграцию Лебега» Франка, у которого есть онлайн-черновик здесь , который очень строго вводит меру/интеграл Лебега, прежде чем установить основные$L^{2}$трактовка рядов Фурье по$\Bbb{T}$. После этого лучшей рекомендацией, которую следует прочитать большинству людей, интересующихся гармоническим анализом, является книга Кацнельсона , в которой рассматривается стандартное преобразование Фурье на$\Bbb{R}$материал очень красиво, а также зарисовки локально компактного материала абелевой группы. Оттуда, похоже, меньше общего консенсуса. Я нашел анализ Фурье по группам Рудина превосходным для локально компактного абелева случая, дающим хорошие доказательства нескольких теорем, для которых я не был доволен доказательствами, приведенными в других книгах. Мне также понравились книги Райтера и Стегемана «Классический гармонический анализ» и «Локально компактные группы» как более широкое введение в абелев гармонический анализ, хотя в нем и опущено немало ключевых доказательств. Я не могу предложить много ссылок за пределами абелева случая и, конечно, не за пределами компактного случая, а во второй из книг Дейтмара.был моим любимым общим справочником по вводному неабелеву гармоническому анализу. Я мало что читал, но мне больше всего нравится описание компактного корпуса в книге Фолланда, которая находится здесь ; в частности, я обнаружил, что ее описание теории представлений было гораздо более естественным, чем другие трактовки.

Я не американец, поэтому я не могу соотнести то, что я сказал, с перечисленными вами курсами, но, надеюсь, это чем-то поможет. Я определенно рекомендую начать с Фрэнкса и Кацнельсона.

В целом, в связи с вашими комментариями, я бы рекомендовал попытаться прочитать как можно больше, не обращаясь за помощью к вашим преподавателям - даже если вам в конечном итоге придется просить помощи в понимании чего-либо, вы получите гораздо больше от это если вы попросите о помощи только после того, как вы избили свои мозги, пытаясь понять это.

Эта книга не получает должного признания:

«Настоящая математика. Анализ» Пью.

Он дает очень интуитивный подход и довольно тщательно излагает свои мысли. Есть много примеров, много-много задач, в том числе некоторые из преддипломных экзаменов в Беркли.

Особенно хорош для самостоятельного изучения.

У меня есть все 4 книги Штейна и Шакарчи, и я нашел их очень полезными в первые пару лет учебы в аспирантуре. В моем курсе реального анализа для выпускников использовалась книга III, поэтому я купил остальные, чтобы иметь полный комплект. У них есть плюсы и минусы, конечно. Плюсы: они охватывают массу материала, имеют больше хороших упражнений, чем вы могли бы выполнить за год (если можете, респект вам), и подходят ко всему максимально строго. В частности, Книга I является, возможно, самым удобоваримым и строгим введением в анализ Фурье, которое я знаю, по крайней мере, на продвинутом уровне бакалавриата. В первой главе рассматриваются мотивы из дифференциальных уравнений в частных производных, но с этого момента вы разрабатываете основные результаты сходимости рядов Фурье и преобразование Фурье на$\mathbb{R}$и$\mathbb{R}^d$. Есть множество «приложений», которые хороши, чтобы оставаться на земле. Последние две главы представляют собой хорошее краткое введение в конечный анализ Фурье и некоторую аналитическую теорию чисел, что приятно контрастирует с большей частью остальной части книги.

Книга III снова, на мой взгляд, является очень удобоваримым введением в теорию Лебега. В то время как многие книги по реальному анализу (например, папа Рудин) склонны начинать с определения пространства меры, S&S придерживается меры Лебега и интегрирования на$\mathbb{R}^d$для большей части книги. Однозначно рекомендую первые 3 части. Вы, вероятно, лучше справитесь с абстрактной теорией меры (хороший выбор — папа Рудин). Минусы книг S&S: некоторые доказательства немного поспешны, поэтому убедитесь, что вы выписали для себя все детали. Кроме того, некоторые упражнения поначалу формулируются немного запутанно. Другая проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, что каждая книга не является самодостаточной — в них много отсылок к другим книгам серии.

Еще одним хорошим, хотя и более легким введением в теорию меры является «Мера, интеграл и вероятность» Капинского и Коппа.

Что касается гармонического анализа, я не уверен, что есть идеальная книга для вашего уровня. В прошлом году я прошел самостоятельный курс обучения, и мы разработали «методы действительных переменных в гармоническом анализе» Торчинского. Он был плотным, но я смог пройти основные главы (слабые пространства Лебега, интерполяция пространств Лебега, преобразование Гильберта) менее чем за 10 недель. К тому же это книга Дувра, так что она дешевая.

Некоторые могут не согласиться со мной в этом, но я обнаружил, что отличный способ мотивировать то, что мне нужно выучить, — это помнить о «целевой» книге или статье, которую я в конечном итоге хотел бы понять. За последние год или два на меня смотрели некоторые из этих обитателей полок, в том числе Библия гармонического анализа («Гармонический анализ» Штейна), «Современный анализ Фурье» Графако и так далее. Иногда вы можете отправиться в библиотеку и просто пролистать книгу, чтобы увидеть, где вы находитесь (если вы не узнаете большинство слов, у вас будет гораздо больше работы!)

После прохождения этих курсов я определенно рекомендую

Рудин: Основы математического анализа

и

Пинкус, Зафрани: ряды Фурье и интегральные преобразования

И то, и другое тяжело читать, но оно того стоит ;)