Энтропия топологической запутанности (TEE, предложенная Левиным, Веном, Китаевым и Прескиллом) является прямой характеристикой топологического порядка, закодированного в волновой функции. Здесь у меня есть некоторые недоразумения, и давайте возьмем в качестве примера модель Китаева со спином 1/2 на сотовой решетке.
Энтропия запутанности основного состояния модели Китаева может быть рассчитана точно , где TEE= как для фазы с зазором, так и для фазы без зазора . Это согласуется с 4-кратным вырождением основного состояния на торе как для фаз с щелями, так и для фаз без щелей. [Хотя вырождение в основном состоянии может быть нечетко определено в бесщелевой фазе.]
Вопрос: Ненулевой TEE основного состояния без промежутков говорит о том, что состояние без промежутков имеет «топологический порядок», но «топологический порядок» определен только для фазы с промежутками . Как я понимаю этот парадокс?
Замечания: Лично я думаю, что понятие «топологического порядка» для гамильтониана с щелью и для волновой функции может быть разным .
Связанный с этим вопрос : является ли данное состояние гэп или нет? Одно из возможных определений может быть таким: если существует гамильтониан с щелью, основное состояние которого , то мы говорим является состоянием с разрывом. Но это определение кажется не совсем точным, поскольку может существовать другой гамильтониан без щелей, основное состояние которого также равно . Простой пример — свободный фермионный гамильтониан. , где вакуумное состояние является бесщелевым основным состоянием пока является основным состоянием с промежутком , поэтому значение разрыва данного состояния (здесь ) может быть неоднозначным.
Поэтому лично я считаю, что основные состояния с щелями и без щелей в модели Китаева являются топологически упорядоченными волновыми функциями (от ненулевого TEE), но только гамильтониан Китаева с щелями (а не гамильтониан Китаева без щелей ) имеет четко определенный топологический порядок.
Заранее спасибо!
Очень хороший вопрос. Во-первых, топологический порядок, строго говоря, определяется только для состояний с пробелами. Но в какой-то степени он может сосуществовать с беззазорными степенями свободы. Довольно тривиальный пример — просто добавление чего-то без зазоров, не связанного с топологическим порядком (т. е. фононов). Однако пример модели Китаева совсем другой, поскольку бесщелевая часть — это фермионные спиноны, а зазорная часть — визоны ( калибровочные поля). TEE говорит, что волновая функция калибровочное поле имеет нелокальные ограничения (т.е. силовые линии электрического поля должны быть замкнуты или заканчиваться только на спинонах), что также отражается на статистике взаимного плетения между спинонами и визонами. Но, с другой стороны, бесщелевые спиноны имеют существенное влияние: например, если задать вопрос о топологическом вырождении (вдобавок к низкоэнергетического спинонного возбуждения) на торе, я думаю, что вырождение основного состояния уменьшается от к , так как спиноны, идущие по большим циклам, могут измерять визуальные потоки и такой процесс имеет амплитуду .
Так что различие, которое вы проводите, действительно важно. С другой стороны, это бесщелевое состояние не является робастным: ничто не мешает спинонам открыть массовую щель, если не наложены дополнительные симметрии. Таким образом, рядом с фазой без зазоров находятся фазы A и B с зазорами, обе из которых имеют одинаковое значение TEE. Поэтому его можно рассматривать как «критическую точку» между фазами А и В.
Я рекомендую очень проницательную статью Бондерсона и Наяка, http://arxiv.org/abs/1212.6395 , в которой подробно обсуждается, как можно определить топологический порядок при наличии степеней свободы без зазоров, и как вырождение основного состояния и плетение статистика влияет.
Что касается второго вопроса, то состояние с разрывом, вероятно, следует определить как состояние, в котором все корреляционные функции (физических, локальных операторов) являются короткодействующими. Мне кажется, что если состояние бесщелевое, то некоторая корреляционная функция должна обнаруживать бесщельность: например, в вашем примере сотовой модели Китаева, хотя спиновые корреляционные функции короткодействующие, корреляции энергий связи алгебраические. Я не видел контрпримера к этому критерию, но я не думаю, что он был строго доказан. Вы можете посмотреть http://arxiv.org/abs/math-ph/0507008 для доказательства спектральной щели, подразумевающей корреляции ближнего действия (также нужно быть осторожным в отношении того, следует ли использовать связанные функции корреляции, так много тонких деталей. ..).
Кай Ли
Мэн Ченг
Кай Ли
Мэн Ченг