В чем разница между топологическими фазами с защитой бозонной и фермионной симметрии (SPT)

Модель Левина и Гу построена из произведений операторов спина 1/2.$S_i^x$,$S_i^y$и$S_i^z$на каждом сайте$i$. Эти операторы коммутируют друг с другом на разных сайтах ($[S_i^\alpha, S_j^\beta] = 0$для$i \neq j$), поэтому мы называем эту модель бозонной, а фазы СПД в этой модели — бозонными СПД.

Напротив, фермионная модель будет построена из фермионных операторов.$a_i$,$a_i^{\dagger}$, которые противодействуют коммутации на разных сайтах (например,$\{ a_i, a_j \} = 0$для$i \neq j$.) Фазы СПД в фермионной модели называются фермионными СПД.

Для более физической точки зрения обратите внимание, что модель Левина и Гу может быть отображена на модель бесспиновых бозонных частиц с жестким ядром, прыгающих по решетке, где (например) спин вверх на заданном узле$i$соответствует незанятому узлу, вращение вниз соответствует однократному занятию, а энергетические ограничения сильно неблагоприятны для более чем одной частицы одновременно в одном и том же узле. Таким образом, это по существу бозонная система.

С другой стороны, как вы упомянули в своем вопросе, также верно, что модель Левина и Гу может быть реализована в системе фермионов со спином 1/2 при половинном заполнении, где существует большой энергетический штраф для более чем один фермион на данном месте, так что фермионы не могут двигаться («изолятор Мотта»), а физика низких энергий - это просто взаимодействия между спинами. Это пример более общего принципа: бозонные системы являются подмножеством фермионных систем. Это потому, что мы всегда можем добавить условия взаимодействия, так что при низких энергиях фермионы объединяются в бозоны, а затем работают с бозонными переменными.

Таким образом, мы видим, что бозонные СПД по существу являются подмножеством фермионных СПД*. Например, рассмотрим классификацию фермионных топологических фаз в (1+1)-D с симметрией обращения времени, http://arxiv.org/abs/1008.4138 . Всего есть 8 фаз (включая тривиальную), которые мы можем обозначить как {0,1,2,3,4,5,6,7}. Из них 0 и 4 носят существенно бозонный характер (поскольку 0 в любом случае является тривиальной фазой, а 4 характеризуется наличием крамерсового дублета на границе, что с таким же успехом может иметь место и в бозонной системе). Остальные являются истинно фермионными фазами, не имеющими аналогов в бозонных системах. (Например, 1, 3, 5, 7 имеют нулевую фермионную моду Майорана на границе, а 2 и 6 имеют действие обращения времени, которое изменяет фермионную четность на границе.)

* Есть одно предостережение в утверждении, что бозонные СПД являются подмножеством фермионных СПД. Причина в том, что система, находящаяся в нетривиальной бозонной фазе СПД (не может быть непрерывно связана с тривиальной фазой через непрерывный путь бозонных гамильтонианов без пересечения фазового перехода), может стать тривиальной как фермионная СПД, если существует непрерывная путь фермионных гамильтонианов (которые, напомним, являются более общими, чем бозонные гамильтонианы), соединяющий его с тривиальной фазой. Некоторые примеры этого явления можно найти по адресу: http://arxiv.org/abs/1205.3156 .