Нахождение условий четырехволнового смешения во взаимодействии фотонов и атомов (путем добавления полей к EIT)

Question

Нахождение условий четырехволнового смешения во взаимодействии фотонов и атомов (путем добавления полей к EIT)

Физика
атомная физика
квантовая оптика
нелинейная оптика
квантовая механика

Стивен Сагона

Проблема

Меня интересует определение условий четырехволнового смешения в электромагнитно-индуцированной прозрачности (EIT) при добавлении дополнительных полей (при сохранении 3 атомных уровней).

Обычно при работе с N-уровневой системой мы используем (N-1) полей (EIT имеет 3 атомарных уровня и 2 поля). Известно, что добавление дополнительных полей вызывает условия «смешения волн», при которых свет одной частоты преобразуется в другую частоту.

Меня интересует следующая схема уровней, как показано на диаграмме:

Схема уровней здесь идентична обычной EIT, за исключением того, что у нас есть дополнительная система EIT, которая расстроена выше обычной EIT.

Мы ожидаем, что когда одно из слабых полей ( $\Omega_s, \Omega_p$ ) выключен, свет первого поля создается на частоте второго поля. Чтобы увидеть это визуально, мы ожидаем, что когда $\Omega_p, \Omega_c,\Omega_d$ включены, свет создается на частоте $\omega_s$ , и мы получаем четырехволновое смешение (FWM), как показано на рисунке ниже:

Я ожидаю увидеть термины формы $E_{out} \propto e^{i \omega_p t}\Omega_s \Omega_c \Omega_d$ и $E_{out} \propto e^{i \omega_s t}\Omega_p \Omega_c \Omega_d$

И здесь решено аналогичное (четырехуровневое, вместо трехуровневого, системное) решение . В своей четырехуровневой системе они имеют термины $\rho_{31}= \frac{\Omega_p |\Omega_d|^2-\Omega_s \Omega_c \Omega_d^*}{D}$ и $\rho_{41}= \frac{\Omega_s |\Omega_c|^2-\Omega_s \Omega_c^* \Omega_d}{D}$ .

Моя попытка

Я могу получить аналитическое решение для $p_{12}$ и $p_{13}$ , но я не вижу ожидаемых условий четырехволнового микширования. Я написал ниже краткое изложение того, как я это получил (в надежде, что кто-то может помочь мне понять, что я делаю неправильно).

Гамильтониан, с которого я начинаю, таков:

{ЧАС}_{Е я Т} "=" [\begin{matrix} ю_{а} & 0 & {мю}_{13} \\ 0 & ю_{б} & {мю}_{23} \\ {мю}_{13}^{*} & {мю}_{23}^{*} & ю_{с} \end{matrix}] (Е_{п} С о с (ю_{п} т + ф_{п}) + Е_{с} С о с (ю_{с} т + ф_{с}) + Е_{с} С о с (ю_{с} + ф_{с}) + Е_{д} С о с (ю_{г} + ф_{г}))

$\begin{equation*} H_{EIT} = \\ \begin{bmatrix} \omega_a & 0 & \mu_{13}\\ 0 & \omega_b & \mu_{23}\\ \mu_{13}^* & \mu_{23}^* & \omega_c \\ \end{bmatrix} \left( E_{p} Cos(\omega_p t+\phi_p)+ E_{s} Cos(\omega_s t+\phi_s) + E_{c}Cos(\omega_c+\phi_c)+E_{d}Cos(\omega_d+\phi_d)\right) \end{equation*}$

Применение RWA-аппроксимации кажется довольно простым. Не похоже, что эти дополнительные поля что-то нарушают в RWA, и мы можем удалить встречные условия, как обычно. $E_s$ и $E_p$ похожи, поэтому одинаковые правила для $\omega_p$ подать заявку на $\omega_s$ и аналогично для $E_c$ и $E_d$ : $(\omega_s-\omega_{ac})<<(\omega_c-\omega_{ac})$ )

Удалив встречные члены, это можно свести к

(\begin{array}{ccc} ю_{1} - ю_{3} & 0 & е^{я т Δ_{п}} {Ом}_{п} + е^{я т (Δ_{п} - Δ_{1})} {Ом}_{с} \\ 0 & ю_{2} - ю_{3} & е^{я т Δ с} Ом с + е^{я т (Δ_{с} - Δ_{2})} {Ом}_{2} \\ е^{- я т Δ_{п}} {Ом}_{п} + е^{- я т (Δ_{п} - Δ_{1})} {Ом}_{с} & е^{- я т Δ_{с}} {Ом}_{с} + е^{- я т (Δ_{с} - Δ_{2})} {Ом}_{д} & 0 \end{array})

$\begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} \text{$\omega_1$}-\text{$\omega_3 $} & 0 & e^{i t \text{$\Delta_p $}} \text{$\Omega_p $}+e^{i t (\text{$\Delta_p $}-\text{$\Delta_1 $})} \text{$\Omega_s $} \\ 0 & \text{$\omega_2 $}-\text{$\omega_3 $} & e^{i t \text{$\Delta $c}} \text{$\Omega $c}+e^{i t (\text{$\Delta_c $}-\text{$\Delta_2 $})} \text{$\Omega_2 $} \\ e^{-i t \text{$\Delta_p $}} \text{$\Omega_p $}+e^{-i t (\text{$\Delta_p $}-\text{$\Delta_1 $})} \text{$\Omega_s $} & e^{-i t \text{$\Delta_c $}} \text{$\Omega_c $}+e^{-i t (\text{$\Delta_c $}-\text{$\Delta_2 $})} \text{$\Omega_d $} & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$ Или в исходной системе отсчета:

(\begin{array}{ccc} ю_{1} - ю_{3} & 0 & е^{я т ю_{п}} {Ом}_{п} + е^{я т (ю_{п} - Δ_{1})} {Ом}_{с} \\ 0 & ю_{2} - ю_{3} & е^{я т ю с} Ом с + е^{я т (ю_{с} - Δ_{2})} {Ом}_{2} \\ е^{- я т ю_{п}} {Ом}_{п} + е^{- я т (ю_{п} - Δ)} {Ом}_{с} & е^{- я т ю_{с}} {Ом}_{с} + е^{- я т (ю_{с} - Δ_{2})} {Ом}_{д} & 0 \end{array})

$\begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} \text{$\omega_1$}-\text{$\omega_3 $} & 0 & e^{i t \text{$\omega_p $}} \text{$\Omega_p $}+e^{i t (\text{$\omega_p $}-\text{$\Delta_1 $})} \text{$\Omega_s $} \\ 0 & \text{$\omega_2 $}-\text{$\omega_3 $} & e^{i t \text{$\omega $c}} \text{$\Omega $c}+e^{i t (\text{$\omega_c $}-\text{$\Delta_2 $})} \text{$\Omega_2 $} \\ e^{-i t \text{$\omega_p $}} \text{$\Omega_p $}+e^{-i t (\text{$\omega_p $}-\text{$\Delta $})} \text{$\Omega_s $} & e^{-i t \text{$\omega_c $}} \text{$\Omega_c $}+e^{-i t (\text{$\omega_c $}-\text{$\Delta_2 $})} \text{$\Omega_d $} & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$

Для EIT мы смотрим, вращая нашу систему в коротирующей системе отсчета, смотрим на уравнение фон-Неймана с некоторыми дополнительными членами затухания ( $\frac{dP}{dt} = [H,P]-LP$ ), решить систему в установившемся режиме ( $\frac{dP}{dt} \implies 0$ ) в адиабатическом приближении ( $\rho_{11} \approx 1, \rho_{22} \approx \rho_{33} \approx 0$ ). Затем, имея решение для условий когерентности, мы видим, что наш вывод $\propto \rho_{12}$ и у нас есть ответ.

Для этой системы мне не очевидно, существует ли коротирующая система отсчета, которая избавляет уравнение от временных зависимостей.

Теперь, поскольку моя цель состоит в том, чтобы иметь аналитическое решение для поведения поляризации в стационарном состоянии (чтобы я мог найти, какой выходной свет производит это взаимодействие), я думаю, что, возможно, я могу найти элементы матрицы плотности без вращая их зависимость от времени. Кроме того, я решил остаться в коротирующей рамке, просто говоря о диагонали с точки зрения расстройки:

Используя стандартное коротирующее вращение:

U "=" (\begin{array}{ccc} е^{- я т ю п} & 0 & 0 \\ 0 & е^{- я т ю с} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

$\begin{equation} U = \left( \begin{array}{ccc} e^{-i t \text{$\omega $p}} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-i t \text{$\omega $c}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{equation}$

Мы можем написать, написав наш эффективный гамильтониан $(H_{eff} = i\frac{dU}{dt}.U^\dagger + U.H.U^\dagger$ ):

{ЧАС}_{е ф ф} "=" (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & Ом п + е^{- я т (ю п - ю с)} Ом с \\ 0 & Δ п & Ом с \\ {Ом}_{п}^{*} + е^{я т (ю п - ю с)} {Ом}_{с}^{*} & {Ом}_{с}^{*} & Δ с \end{array})

$\begin{equation} H_{eff} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \text{$\Omega $p}+e^{-i t (\text{$\omega $p}-\text{$\omega $s})} \text{$\Omega $s} \\ 0 & \text{$\Delta $p} & \text{$\Omega $c} \\ \text{$\Omega_p^*$}+e^{i t (\text{$\omega $p}-\text{$\omega $s})} \text{$\Omega_s^*$} & \text{$\Omega^*_c$} & \text{$\Delta $c} \\ \end{array} \right) \end{equation}$

Обратите внимание, что мой гамильтониан по-прежнему зависит от времени. Теперь я не уверен, что этот шаг правильный, но я не собираюсь ничего менять в стандартной процедуре решения условий когерентности. То есть я просто скажу, что $\frac{dP}{dt}\rightarrow 0$ и решите (что кажется немного сумасшедшим... должно ли устойчивое состояние не зависеть от времени?), выполнив следующие наивные шаги:

\frac{г п}{г т} "=" [ЧАС (т), п] + л п \frac{г п}{г т} \to 0 [ЧАС (т), п] + л п \to 0

$\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = [H(t), P] + \mathcal{L} P\\ \frac{dP}{dt} \rightarrow 0 \\ [H(t), P] + \mathcal{L} P\rightarrow 0 \\ \end{equation*}$

Получаем систему уравнений вида MP = b. Матрица M:

(\begin{array}{cccccc} 0 & Ом с + е^{я т Δ 2} Ом г & 0 & 0 & 0 & - Ом п - е^{- я т Δ 1} Ом с \\ Ом с + е^{- я т Δ 2} Ом г & - Δ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - Ом п - е^{я т Δ 1} Ом с & Ом с + е^{- я т Δ 2} Ом г & 0 \\ 0 & 0 & Ом п + е^{- я т Δ 1} Ом с & \frac{Г}{2} - Δ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - Ом с - е^{я т Δ 2} Ом г & 0 & \frac{Г}{2} + Δ & 0 \\ - Ом п - е^{я т Δ 1} Ом с & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{Г}{2} + Δ \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{cccccc} 0 & \text{$\Omega $c}+e^{i t \text{$\Delta $2}} \text{$\Omega $d} & 0 & 0 & 0 & -\text{$\Omega $p}-e^{-i t \text{$\Delta $1}} \text{$\Omega $s} \\ \text{$\Omega $c}+e^{-i t \text{$\Delta $2}} \text{$\Omega $d} & -\Delta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\text{$\Omega $p}-e^{i t \text{$\Delta $1}} \text{$\Omega $s} & \text{$\Omega $c}+e^{-i t \text{$\Delta $2}} \text{$\Omega $d} & 0 \\ 0 & 0 & \text{$\Omega $p}+e^{-i t \text{$\Delta $1}} \text{$\Omega $s} & \frac{\Gamma }{2}-\Delta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\text{$\Omega $c}-e^{i t \text{$\Delta $2}} \text{$\Omega $d} & 0 & \frac{\Gamma }{2}+\Delta & 0 \\ -\text{$\Omega $p}-e^{i t \text{$\Delta $1}} \text{$\Omega $s} & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Gamma }{2}+\Delta \\ \end{array} \right)\end{equation}$

а P и b

п "=" (\begin{matrix} р 12 \\ р 13 \\ р 21 \\ р 23 \\ р 31 \\ р 32 \end{matrix}), б "=" (\begin{matrix} 0 \\ Ом п + Ом с е^{- я Δ 1 т} \\ 0 \\ 0 \\ - Ом п - Ом с е^{я Δ 1 т} \\ 0 \end{matrix})

$\begin{equation} P = \left( \begin{array}{c} \text{$\rho $12} \\ \text{$\rho $13} \\ \text{$\rho $21} \\ \text{$\rho $23} \\ \text{$\rho $31} \\ \text{$\rho $32} \\ \end{array} \right), b = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \text{$\Omega $p}+\text{$\Omega $s} e^{-i \text{$\Delta $1} t} \\ 0 \\ 0 \\ -\text{$\Omega $p}-\text{$\Omega $s} e^{i \text{$\Delta $1} t} \\ 0 \\ \end{array} \right) \end{equation}$

Теперь у меня есть решение для моих условий когерентности $\rho_{13}(t), \rho_{12}(t)$ :

\begin{aligned} р_{13} (т) & "=" \frac{2 е^{- 2 я Δ 1 т} {(Ом с + Ом п е^{я Δ 1 т})}^{2} (Ом п + Ом с е^{я Δ 1 т})}{Д_{1}} \\ р_{23} (т) & "=" \frac{2 (Ом с + Ом п е^{я Δ 1 т}) (Ом п + Ом с е^{я Δ 1 т}) (Ом г + Ом с е^{я Δ 2 т})}{Д_{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} \rho_{13}(t) &= \frac{2 e^{-2 i \text{$\Delta $1} t} \left(\text{$\Omega $s}+\text{$\Omega $p} e^{i \text{$\Delta $1} t}\right)^2 \left(\text{$\Omega $p}+\text{$\Omega $s} e^{i \text{$\Delta $1} t}\right)}{D_1} \\ \rho_{23}(t) &= \frac{2 \left(\text{$\Omega $s}+\text{$\Omega $p} e^{i \text{$\Delta $1} t}\right) \left(\text{$\Omega $p}+\text{$\Omega $s} e^{i \text{$\Delta $1} t}\right) \left(\text{$\Omega $d}+\text{$\Omega $c} e^{i \text{$\Delta $2} t}\right)}{D_2} \\ \end{align*}$

D_{1} = Γ ({Ω c}^{2} + {Ω d}^{2}) + 2 Δ ({Ω c}^{2} + {Ω d}^{2} - {Ω p}^{2} - {Ω s}^{2}) + 2 Ω c Ω d (Γ + 2 Δ) \cos (Δ 2 t) - 4 Δ Ω p Ω s \cos (Δ 1 t)

$D_1 = \Gamma \left(\text{$\Omega $c}^2+\text{$\Omega $d}^2\right)+2 \Delta \left(\text{$\Omega $c}^2+\text{$\Omega $d}^2-\text{$\Omega $p}^2-\text{$\Omega $s}^2\right)+2 \text{$\Omega $c} \text{$\Omega $d} (\Gamma +2 \Delta ) \cos (\text{$\Delta $2} t)-4 \Delta \text{$\Omega $p} \text{$\Omega $s} \cos (\text{$\Delta $1} t)$

D_{2} = e^{i t (Δ 1 + Δ 2)} (Γ ({Ω c}^{2} + {Ω d}^{2} + {Ω p}^{2} + {Ω s}^{2}) + 2 Δ (- {Ω c}^{2} - {Ω d}^{2} + {Ω p}^{2} + {Ω s}^{2})) + Ω c Ω d (Γ - 2 Δ) e^{i t (Δ 1 + 2 Δ 2)} + Ω p Ω s (Γ + 2 Δ) e^{i t (2 Δ 1 + Δ 2)} + Ω c Ω d (Γ - 2 Δ) e^{i Δ 1 t} + Ω p Ω s (Γ + 2 Δ) e^{i Δ 2 t}

$D_2 = e^{i t (\text{$\Delta $1}+\text{$\Delta $2})} \left(\Gamma \left(\text{$\Omega $c}^2+\text{$\Omega $d}^2+\text{$\Omega $p}^2+\text{$\Omega $s}^2\right)+2 \Delta \left(-\text{$\Omega $c}^2-\text{$\Omega $d}^2+\text{$\Omega $p}^2+\text{$\Omega $s}^2\right)\right)+\text{$\Omega $c} \text{$\Omega $d} (\Gamma -2 \Delta ) e^{i t (\text{$\Delta $1}+2 \text{$\Delta $2})}+\text{$\Omega $p} \text{$\Omega $s} (\Gamma +2 \Delta ) e^{i t (2 \text{$\Delta $1}+\text{$\Delta $2})}+\text{$\Omega $c} \text{$\Omega $d} (\Gamma -2 \Delta ) e^{i \text{$\Delta $1} t}+\text{$\Omega $p} \text{$\Omega $s} (\Gamma +2 \Delta ) e^{i \text{$\Delta $2} t}$

Теперь мы можем использовать эти термины, чтобы найти интересующие меня термины FWM. Используя определение поляризации:

п "=" Н Т р ([\begin{matrix} р_{а а} & р_{а б} & р_{а с} \\ р_{б а} & р_{б б} & р_{б с} \\ р_{с а} & р_{с б} & р_{с с} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 & {мю}_{13} \\ 0 & 0 & {мю}_{23} \\ {мю}_{13} & {мю}_{23} & 0 \end{matrix}])

$\begin{equation*} \textbf{P} = N Tr\left( \begin{bmatrix} \rho_{aa} & \rho_{ab} & \rho_{ac}\\ \rho_{ba} & \rho_{bb} & \rho_{bc}\\ \rho_{ca} & \rho_{cb} & \rho_{cc} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & \mu_{13}\\ 0 & 0 & \mu_{23}\\ \mu_{13} & \mu_{23} & 0 \\ \end{bmatrix}\right) \end{equation*}$

Мы можем видеть, что наша выходная поляризуемость равна: $P_{out} = \mu_{31} \rho_{13} + \mu_{32} \rho_{23} + c.c.$

Теперь, когда я извлекаю члены, которые пропорциональны $e^{i \omega_p t}$ и $e^{i \omega_st}$ , я не вижу НИКАКИХ терминов, которые были бы линейными в поле зонда и управления (после расширения Тейлора). Это очень странно для меня, так как есть несколько источников , в которых это должно действовать как частотный светоделитель, а это означает, что у меня должны быть члены, пропорциональные $\Omega_s \Omega_c^* \Omega_d$ и $\Omega_p \Omega_c^* \Omega_d$ .

Может быть, кто-то может указать, что я делаю неправильно? Может быть, я испортил зависящую от времени часть решения? Может есть другой фреймворк для работы с четырехволновым микшированием?

Эмилио Писанти

Обратите внимание, что гамильтониан

H_{E I T}

$H_{EIT}$ как вы написали это в своем исходном уравнении (сумма косинусов, умножающих матрицу), определенно неверно и несовместимо со следующим уравнением вниз. Вы правильно применили RWA к правильному гамильтониану (не показан) и получили правильный результат во втором уравнении, но исходная точка, как указано, неверна. Кроме того, обратите внимание, что это термины «встречного вращения», а не «встречного распространения».

Ответы (1)

Нахождение условий четырехволнового смешения во взаимодействии фотонов и атомов (путем добавления полей к EIT)

Обратите внимание, что гамильтониан $H_{EIT}$ как вы написали это в своем исходном уравнении (сумма косинусов, умножающих матрицу), определенно неверно и несовместимо со следующим уравнением вниз. Вы правильно применили RWA к правильному гамильтониану (не показан) и получили правильный результат во втором уравнении, но исходная точка, как указано, неверна. Кроме того, обратите внимание, что это термины «встречного вращения», а не «встречного распространения».

экмр · Answer 1

Я надеюсь, ничего страшного, если вместо того, чтобы пытаться найти ошибки в вашем подходе, я просто опишу, как я бы решил проблему аналогичным образом. Кстати, я думаю, что вы на самом деле идете в правильном направлении, но случайные опечатки и несоответствия мешали мне выделить проблемные моменты.

Прежде всего, как указано в одном из комментариев, в исходном гамильтониане, похоже, есть некоторые ошибки. Я считаю, что вы хотели написать что-то вроде

ЧАС (т) "=" (\begin{array}{ccc} ю_{1} & 0 & 0 \\ 0 & ю_{2} & 0 \\ 0 & 0 & ю_{3} \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & {мю}_{13} \\ 0 & 0 & {мю}_{23} \\ {мю}_{13} & {мю}_{23} & 0 \end{array}) Е (т),

$H(t) = \left(\begin{array}{ccc} \omega_1 & 0 & 0\\ 0 & \omega_2 & 0\\ 0 & 0 & \omega_3\\ \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & \mu_{13}\\ 0 & 0 & \mu_{23}\\ \mu_{13} & \mu_{23} & 0\\ \end{array}\right) E(t),$ где

Е (т) "=" Е_{п} потому что (ю_{п} т + ф_{п}) + Е_{с} потому что (ю_{с} т + ф_{с}) + Е_{с} потому что (ю_{с} т + ф_{с}) + Е_{д} потому что (ю_{д} т + ф_{д}) .

$E(t) = E_p \cos(\omega_p t + \phi_p) + E_s \cos(\omega_s t + \phi_s) + E_c \cos(\omega_c t + \phi_c) + E_d \cos(\omega_d t + \phi_d).$ Здесь я предполагаю, что

μ_{13}

$\mu_{13}$ и

μ_{23}

$\mu_{23}$ реальны, что можно сделать без потери общности.

Я думаю, что также имеет смысл максимально упростить задачу, прежде чем пытаться ее понять. Таким образом, вместо общего случая, когда преобразование между частотами $\omega_p$ и $\omega_s$ может происходить в обоих направлениях, я рассмотрю более простой случай, когда мы применяем только $\omega_p$ качайте и ищите выход на частоте $\omega_s$ (т.е. $E_s=0$ в гамильтониане). Противоположное преобразование может быть проанализировано совершенно аналогичным образом.

Прежде чем мы приступим к какой-либо сложной математике, вот мое интуитивное понимание того, как здесь могло бы произойти смешивание волн: в отсутствие $E_s$ , мы можем рассматривать это как почти стандартную проблему EIT с насосами $E_p$ и $E_c$ только теперь есть дополнительный сигнал с амплитудой $E_d$ который немного расстроен (на $\Delta_1$ ) от $\omega_c$ . Если эта расстройка невелика, мы можем посмотреть на комбинацию $E_c$ и $E_d$ диски как-то с частотой $\omega_c$ но с медленно изменяющейся амплитудой и фазой. Медленное изменение модулирует коэффициент передачи $T$ системы EIT для слабого пробного тона $E_p$ . Так что в принципе вы должны ожидать в поле вывода терм $T(t)E_p\cos(\omega_p t+\phi_p)$ , где $T(t)$ является периодическим с частотой $\Delta_1$ . Умножая члены, колеблющиеся при $\omega_p$ и $\Delta_1$ , вы, конечно, получаете какой-то компонент в $\omega_p+\Delta_1 = \omega_s$ . И вуаля, это ваш процесс микширования частот.

Теперь, чтобы на самом деле вывести это. Сначала мы делаем преобразование кадра

U (т) "=" (\begin{array}{ccc} е^{я ю_{1} т} & 0 & 0 \\ 0 & е^{я ю_{2} т} & 0 \\ 0 & 0 & е^{я (ю_{1} + ю_{п}) т} \end{array})

$U(t) = \left(\begin{array}{ccc} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_1 t} & 0 & 0\\ 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_2 t} & 0\\ 0 & 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_1+\omega_p) t}\\ \end{array}\right)$

Таким образом, эффективный гамильтониан равен

{ЧАС}_{е ф ф} (т) "=" (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ю_{3} - ю_{1} - ю_{п} \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & {мю}_{13} е^{- я ю_{п} т} \\ 0 & 0 & {мю}_{23} е^{я (ю_{2} - ю_{1} - ю_{п}) т} \\ {мю}_{13} е^{я ю_{п} т} & {мю}_{23} е^{- я (ю_{2} - ю_{1} - ю_{п}) т} & 0 \end{array}) Е (т),

$H_{\mathrm{eff}}(t) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \omega_3-\omega_1-\omega_p\\ \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & \mu_{13}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_p t}\\ 0 & 0 & \mu_{23}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_2-\omega_1-\omega_p) t}\\ \mu_{13}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_p t} & \mu_{23}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega_2-\omega_1-\omega_p) t} & 0\\ \end{array}\right) E(t),$

Мы знаем это $\omega_3-\omega_1-\omega_p=-\Delta_2$ и $\omega_2-\omega_1-\omega_p=-\omega_c$ . Единственные члены, которые будут иметь медленно меняющиеся компоненты, которые выдержат приближение вращающейся волны, пропорциональны $\mu_{13}E_p$ , $\mu_{23}E_c$ и $\mu_{23}E_d$ (мы предполагаем расстройку между $\omega_c$ и $\omega_d$ недостаточно велик, чтобы бросить $\mu_{23}E_d$ срок). После аппроксимации получаем

\begin{aligned} {ЧАС}_{е ф ф} (т) "=" & (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - Δ_{2} \end{array}) + \\ \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & {мю}_{13} Е_{п} е^{я ф_{п}} \\ 0 & 0 & {мю}_{23} (Е_{с} е^{я ф_{с}} + Е_{г} е^{я (Δ_{1} т + ф_{г})}) \\ {мю}_{13} Е_{п} е^{- я ф_{п}} & {мю}_{23} (Е_{с} е^{- я ф_{с}} + Е_{г} е^{- я (Δ_{1} т + ф_{г})}) & 0 \end{array}) . \end{aligned}

$\begin{align} H_{\mathrm{eff}}(t) =& \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\Delta_2\\ \end{array}\right) + \\ &\frac{1}{2} \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & \mu_{13}E_p\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_p}\\ 0 & 0 & \mu_{23}(E_c\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_c}+E_d\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Delta_1 t+\phi_d)})\\ \mu_{13}E_p\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_p} & \mu_{23}(E_c\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi_c}+E_d\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\Delta_1 t+\phi_d)}) & 0\\ \end{array}\right). \end{align}$

Для простоты мы будем обозначать члены связи через $\Omega_p$ и $\Omega_c(t)$ , что дает нам

{ЧАС}_{е ф ф} (т) "=" (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & \frac{1}{2} {Ом}_{п} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} {Ом}_{с} (т) \\ \frac{1}{2} {Ом}_{п}^{*} & \frac{1}{2} {Ом}_{с}^{*} (т) & - Δ_{2} \end{array}) .

$H_{\mathrm{eff}}(t) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & \frac{1}{2}\Omega_p\\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\Omega_c(t)\\ \frac{1}{2}\Omega_p^{*} & \frac{1}{2}\Omega_c^{*}(t) & -\Delta_2\\ \end{array}\right).$

Теперь я считаю, что важным шагом является предположение, что $\Delta_1$ намного медленнее, чем время, в течение которого система достигает равновесия. Таким образом, вы можете принять матрицу плотности $\rho(t)$ системы каждый раз $t$ является приближенно стационарным состоянием, соответствующим гамильтониану $H_{\mathrm{eff}}(t)$ . Как и вы, я сделаю предположение $\rho_{11}\approx 1$ , $\rho_{22}\approx\rho_{33}\approx 0$ и напишем систему стационарных уравнений для $\rho_{12}$ , $\rho_{13}$ и $\rho_{32}$ (остальные три внедиагональных элемента всегда комплексно сопряжены с первыми тремя, поэтому мы могли бы избавить себя от хлопот и пока не беспокоиться о них):

\begin{aligned} я р_{13} {Ом}_{с}^{*} / 2 - γ р_{12} / 2 - я р_{32} {Ом}_{п} / 2 & "=" 0 \\ я р_{12} {Ом}_{с} / 2 - (я Δ_{2} + Г / 2) р_{13} & "=" - я {Ом}_{п} / 2 \\ - я р_{12} {Ом}_{п}^{*} / 2 + (я Δ_{2} - Г / 2) р_{32} & "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{i}\rho_{13}\Omega_{c}^{*}/2 - \gamma\rho_{12}/2 - \mathrm{i}\rho_{32}\Omega_{p}/2 &= 0\\ \mathrm{i}\rho_{12}\Omega_{c}/2 - (\mathrm{i}\Delta_2+\Gamma/2) \rho_{13} &= -\mathrm{i}\Omega_{p}/2\\ -\mathrm{i}\rho_{12}\Omega_{p}^{*}/2 + (\mathrm{i}\Delta_2-\Gamma/2) \rho_{32} &= 0\\ \end{align}$

Давайте сделаем паузу и отметим, что эти уравнения очень похожи на те, которые вы получили, за исключением члена с $\gamma$ в моем первом уравнении, описывающем потерю согласованности между состояниями 1 и 2, которого у вас нет. Почему я добавил это? Оказывается, что без этого механизма декогеренции решение этих уравнений несколько плохо себя ведет. Например, если все диски выключены ( $\Omega_p = \Omega_c = 0$ ), $\rho_{12}$ неопределенна - она полностью выпадает из уравнений. Более того, посмотрите, что произойдет, если вы зафиксируете соотношение $\eta:=\Omega_p/\Omega_c$ и разреши $\Omega_c\to 0$ . Вы можете показать, что $\rho_{12}$ имеет конечный предел, зависящий от $\eta$ . Это означает, что элементы матрицы плотности как функции двух переменных $\Omega_p$ и $\Omega_c$ демонстрировать довольно неприятное поведение вокруг $\Omega_p=\Omega_c=0$ . Самое главное, они не могут быть расширены в ряд Тейлора в $\Omega_p$ и $\Omega_c$ . Но это именно то, что вы хотели бы сделать в своем стремлении найти условия смешения волн.

Другой способ взглянуть на это состоит в том, что для идентификации процесса смешивания волн вы хотели бы рассматривать насосы как возмущение. Но генератор свободной динамики системы в определенном смысле вырожден (имеет несколько стационарных состояний), и поэтому теория возмущений не работает.

Во всяком случае, добавленный мною термин декогеренции должен исправить это, поскольку он гарантирует, что свободная неуправляемая система имеет только одно устойчивое состояние с исчезающими недиагональными элементами матрицы плотности. Тогда решение уравнений дает нам

\begin{aligned} р_{13} & "=" - \frac{я {Ом}_{п}}{2 я Δ_{2} + Г} - \frac{я {Ом}_{п} | {Ом}_{с} |^{2}}{γ (2 я Δ_{2} + Г)^{2}} + \dots \\ р_{12} & "=" \frac{{Ом}_{п} {Ом}_{с}^{*}}{γ (2 я Δ_{2} + Г)} + \dots, \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{13} &= -\frac{\mathrm{i}\Omega_p}{2\mathrm{i}\Delta_2+\Gamma} -\frac{\mathrm{i}\Omega_p|\Omega_c|^2}{\gamma(2\mathrm{i}\Delta_2+\Gamma)^2} + \ldots\\ \rho_{12} &= \frac{\Omega_p \Omega_c^{*}}{\gamma(2\mathrm{i}\Delta_2+\Gamma)} + \ldots, \end{align}$ где мы пропускаем члены четвертого и более высоких порядков в силе влечения.

Теперь вспомним, что для трансформации обратно в лабораторный кадр нам нужно отменить $U(t)$ . Это означает умножение $\rho_{12}$ к $\exp(\mathrm{i}(\omega_2-\omega_1)t)$ и $\rho_{13}$ к $\exp(\mathrm{i}\omega_p t)$ . Нам также необходимо выразить $\Omega_p$ и $\Omega_c(t)$ с точки зрения $E_p$ , $E_c$ и $E_d$ . Затем простой расчет говорит нам, что $\rho_{12}$ состоит из терминов, которые колеблются с частотой $\omega_2-\omega_1$ и $\omega_2-\omega_1+\Delta_1$ . Ни один из них не равен желаемому $\omega_s$ . Член первого порядка в элементе матрицы $\rho_{13}$ колеблется в $\omega_p$ и не интересно. Второй член, с другой стороны, имеет компонент на частоте $\Delta_1+\omega_p = \omega_s$ . Этот термин представляет собой процесс микширования, который вам нужен. В явном виде мы можем записать это как

р_{13} "=" - \frac{я {мю}_{13} {мю}_{23}^{2} Е_{п} Е_{с} Е_{г} е^{я (ю_{с} т + ф_{п} + ф_{г} - ф_{с})}}{γ (2 я Δ_{2} + Г)^{2}} + \dots

$\rho_{13} = -\frac{ \mathrm{i}\mu_{13}\mu_{23}^2 E_p E_c E_d\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_s t+\phi_p+\phi_d-\phi_c)} }{\gamma(2\mathrm{i}\Delta_2+\Gamma)^2} + \ldots$

Отказ от ответственности : я почти уверен, что знаки минус, множители 2 и другие надоедливые вещи были потеряны в процессе из-за моей небрежности. Но я считаю, что суть всего дела должна оставаться в силе. Я надеюсь, что это будет полезно.

Это отличный ответ. Добро пожаловать на сайт!
Спасибо за ваш ответ! Я очень впечатлен тем, насколько это ясно. Я немного озадачен. Я думаю, что мы оба использовали один и тот же метод (я не упомянул в исходном посте, но я также безуспешно пытался включить термины распада). Единственная разница, которую я вижу, заключается в том, что вы решили для FWM, генерируемого зондом, без включения исходного поля сигнала. Может быть, включение и зонда, и сигнала вносит дополнительные помехи в уравнения движения? Может быть, эти члены могут исчезнуть (вероятно, для некоторых относительных фаз между полями, но не для всех)?
Я думаю, что ваш адиабатический аргумент в пользу включения $\Omega_d$ можно было бы применить и к $\Omega_s$ , так что я мог бы разработать версию этого со всеми 4 полями. (чтобы увидеть, отличается ли комбинация от их индивидуального рассмотрения) Я тщательно рассмотрю ваши математические расчеты и подтвержу, что могу воспроизвести ваши результаты. И затем, после того, как я подумаю, я попробую и посмотрю, получу ли я тот же ответ, если попытаюсь сделать $\Omega_p \rightarrow \Omega_p^{eff}(t) = \Omega_p + \Omega_p e^{i \Delta_3 t +\phi}$
Опечатка выше: $Ω^{eff}_p(t)=Ω_p+Ω_se^{iΔ_3t+ϕ_s}$
Я подробно рассмотрел ваш вопрос и думаю, что понимаю свое предыдущее замешательство. Я думаю, что делает $\gamma$ ненулевое значение — ключевая вещь, которую мне не хватало. В очередной раз благодарим за помощь!
@StevenSagona: всегда пожалуйста. Что касается расширения до двунаправленного преобразования, я считаю, что это может быть достаточно легко. В самом низком порядке во всех приводах все должно быть линейным в $E_p$ и $E_s$ , поэтому я ожидаю, что вы просто замените $p\leftrightarrow s$ , $c\leftrightarrow d$ и $\Delta_1\to -\Delta_1$ чтобы получить обратный процесс и сложить два результата вместе. Конечно, тогда вы получите на каждой из частот $\omega_p$ и $\omega_s$ как преобразованный сигнал, так и прямой отклик на зонд.

Нахождение условий четырехволнового смешения во взаимодействии фотонов и атомов (путем добавления полей к EIT)

Стивен Сагона

Эмилио Писанти

Ответы (1)

экмр

Эмилио Писанти

Стивен Сагона

Стивен Сагона

Стивен Сагона

Стивен Сагона

экмр

Распределение электрона по импульсу и волновая функция в импульсном пространстве

Почему атомы не испускают более одного фотона при переходе энергетического уровня?

Что такое g(2)g(2)g^{(2)} в контексте квантовой оптики? И как он рассчитывается?

SPDC и производство одиночных фотонов

Чистота квантового состояния в картине Гейзенберга

Линеаризация квантовых операторов

Разница между параметрическими и непараметрическими линейными и нелинейными оптическими процессами?

Насколько большим может стать атом? На каком максимальном расстоянии от ядра может находиться электрон?

Квазиклассическая модель атома

Можно ли решить уравнение Шредингера для дейтерия?