Как центростремительное ускорение имеет направление/вектор и величину, в то время как в формуле v2=v⋅vv2=v⋅vv^2=v\cdot v скалярно?

Question

Как центростремительное ускорение имеет направление/вектор и величину, в то время как в формуле v2=v⋅vv2=v⋅vv^2=v\cdot v скалярно?

123

а_{с} "=" в^{2} / р

$a_c=v^2/r$ 1. Как центростремительное ускорение имеет направление или вектор, в то время как в формуле скалярное произведение между вектором скорости является скалярным (как в кинетической энергии)? Радиус является скалярной величиной. Каково направление в формуле, показывающей направление к центру окружности?

в^{2} "=" в \cdot в "=" с с а л а р

$v^2=v\cdot v=\mathrm{scalar}$

р а д я ты с "=" р "=" с с а л а р

$\mathrm{radius}=r=\mathrm{scalar}$ 2. Если величина скорости постоянна, а изменяется только направление, то почему центростремительное ускорение имеет величину при изменении направления? Как мы понимаем и читаем формулу с точки зрения физики?

ТехДроид

Это может дать больше информации: physics.stackexchange.com/questions/464307/…

Ответы (2)

Как центростремительное ускорение имеет направление/вектор и величину, в то время как в формуле v2=v⋅vv2=v⋅vv^2=v\cdot v скалярно?

Это может дать больше информации: physics.stackexchange.com/questions/464307/…

Джон Ренни · Answer 1

Нарисуем задействованные векторы:

Если мы запишем векторы как их $(x,y)$ компоненты получаем:

\begin{matrix} (1) & р "=" (р потому что ю т, р грех ю т) \end{matrix}

$\mathbf r = (r\cos\omega t, r\sin\omega t) \tag{1}$

где $r$ это модуль или $\mathbf r$ и $\omega$ – модуль угловой скорости. Дифференцируя это, получаем скорость:

\begin{matrix} (2) & в "=" \frac{д р}{д т} "=" (- р ю грех ю т, р ю потому что ю т) \end{matrix}

$\mathbf v = \frac{d\mathbf r}{dt} = (-r\omega\sin\omega t, r\omega\cos\omega t ) \tag{2}$

и дифференцирование снова дает ускорение:

\begin{matrix} (3) & а "=" \frac{д в}{д т} "=" (- р ю^{2} потому что ю т, - р ю^{2} грех ю т) \end{matrix}

$\mathbf a = \frac{d\mathbf v}{dt} = (-r\omega^2\cos\omega t, -r\omega^2\sin\omega t ) \tag{3}$

И сравнивая уравнения (1) и (3), мы видим, что уравнение (3) можно упростить до:

\begin{matrix} (4) & а "=" - ю^{2} р \end{matrix}

$\mathbf a = -\omega^2 \mathbf r \tag{4}$

И вот ваше векторное уравнение для $\mathbf a$ .

Спасибо @jhon Rennie 1. Я знаю выражение, которое вы упомянули, означает ли оно, что в $a_c=v^2/r$ мы говорим, что ускорение является скалярной величиной 2. как мы понимаем значение $a_c=2m/s^2$ что подразумевается под этим значением, направление ускорения изменяется на эту величину. что подразумевается под этим изменением направления ускорения.
@123 количество $v^2/r$ модуль $\mathbf a$ . Направление $-\hat{\mathbf r}$ . Вектор положения $\mathbf r$ является функцией времени, поэтому $\mathbf a$ также является функцией времени.

Фарчер · Answer 2

В своем выражении вы использовали величины векторов, и, следовательно, любые свойства направления теряются.

В самом деле, для равномерного кругового движения $\vec a = - \omega ^2 \, \vec r$ где $\omega$ это угловая скорость, которая имеет величину $\omega \,r$ и $\vec r$ - радиальный вектор величины $r$ .

Обновление в результате комментария.

Возможно, поможет более визуальный подход?

Рассмотрим объект, движущийся по окружности радиусом $r$ с постоянной скоростью $v$ .

Объект перемещается между двумя позициями за время $\Delta t$ как показано на диаграмме ниже.

За это время он продвинулся на расстояние $\Delta s$ по дуге окружности.

Δ с "=" р Δ θ \Rightarrow \frac{Δ с}{Δ т} "=" р \frac{Δ θ}{Δ т} \Rightarrow в "=" р ю

$\Delta s = r\, \Delta \theta \Rightarrow \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = r\, \dfrac{\Delta \theta} {\Delta t} \Rightarrow v = r\, \omega$ где

ω = \frac{Δ θ}{Δ t}

$\omega = \dfrac {\Delta \theta}{\Delta t}$ это угловая скорость.

Теперь взгляните на векторный треугольник справа, где $\vec v_{\rm old} +\vec v_{\rm change}= \vec v_{\rm new}$ с величинами $\vec v_{\rm old}$ и $\vec v_{\rm new}$ одинаковы и равны скорости тела $v$ .

Величина изменения скорости

| {\vec{в}}_{с час а н г е} | \approx в Δ θ \Rightarrow \frac{| {\vec{в}}_{с час а н г е} |}{Δ т} \approx в \frac{Δ θ}{Δ т} \Rightarrow а "=" в ю

$|\vec v_{\rm change}| \approx v\, \Delta \theta \Rightarrow \dfrac{|\vec v_{\rm change}|}{\Delta t} \approx v\, \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} \Rightarrow a = v \, \omega$ как

Δ t

$\Delta t$ и так

Δ θ

$\Delta \theta$ стремятся к нулю.

$a$ является величиной центростремительного ускорения, и хотя скорость не изменяется, ускорение (изменение скорости) имеет величину.

И, наконец, как $\Delta t$ стремится к нулю, $\Delta \theta$ стремится к нулю и $\alpha$ как правило $90^\circ$ поэтому направление изменения скорости (ускорения) находится под прямым углом к начальной скорости, которая проходит по касательной к центру, направлена к центру окружности.

$\Rightarrow \vec a = - \omega^2 \,\vec r$

Спасибо за ответ @farcher 1. я знаю выражение, которое вы упомянули, означает ли оно, что в $a_c= v^2/r$ мы говорим, что ускорение является скалярной величиной 2. как мы понимаем значение $a_c=2m/s^2$ что подразумевается под этим значением, направление ускорения изменяется на эту величину. что подразумевается под этим изменением направления ускорения.
Пожалуйста, исправьте, если я ошибаюсь. Я могу сказать, хочет ли объект двигаться с $v=2m/s$ и радиус $r=1m$ тогда мы можем сказать $a_c=v^2/r=4m/s^2$ требуется для перемещения объекта по кругу с направлением к центру. Или с точки зрения силы с $m=1kg$ , $\vec F_c=4N$ необходимо от центра, чтобы держать объект в кругу. Что, если объект также имеет касательное ускорение $a_t$ затем $a_c$ постоянно необходимо менять, чтобы держать объект в кругу или $a_t$ и $a_c$ являются независимыми.

Как центростремительное ускорение имеет направление/вектор и величину, в то время как в формуле v2=v⋅vv2=v⋅vv^2=v\cdot v скалярно?

123

ТехДроид

Ответы (2)

Джон Ренни

123

Джон Ренни

Фарчер

123

123

Направление скорости тела может изменяться, если его ускорение постоянно. Как это возможно, если ускорение является векторной величиной?

Почему ускорение при равномерном движении по окружности является переменным?

Центростремительное ускорение почти перпендикулярно скорости или точно перпендикулярно скорости?

Дифференцируйте ч/б скаляр и вектор в ньютоновской механике

Разве скорость на орбите не всегда тангенциальна, а не радиальна и тангенциальна?

Проблемы с ускорением в полярных координатах

Когда векторы скорости и ускорения будут перпендикулярны? [закрыто]

Неоднозначность направления угловой скорости и углового смещения из соотношения ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Угловое, тангенциальное и центростремительное ускорение невращающегося объекта [закрыто]

Используя центростремительное ускорение, чтобы найти величину скорости в момент времени t+dtt+dtt+dt