И утверждение АС, и его отрицание непротиворечивы в теории множеств, но можно ли каким-то образом сказать, что одно из них действительно истинно? Я понимаю, что значит для AC и его отрицания быть непротиворечивым; но есть ли смысл, в котором истина больше, чем просто избежание противоречий. Возможно, это тот случай, когда отрицание AC является «истиной вопроса», но мы не столкнемся с какими-либо противоречиями, если предположим, что AC истинно, и проведем математику, используя лемму Цорна (что эквивалентно) и т. д.
Этот вопрос возник, когда я читаю «Метафизику: Антология» под редакцией Кима, Кормана и Сосы. В ней есть статья Плантинги "Модальности: основные понятия и различия", утверждается, что "Аксиома выбора и гипотеза континуума либо обязательно истинны, либо обязательно ложны..."
Это зависит от того, что вы подразумеваете под «теорией множеств». ZF — не единственный способ формализовать теорию множеств (хотя он, конечно, наиболее широко распространен). См. этот отрывок из статьи Википедии об AoC в контексте конструктивной математики:
Однако в конструктивной теории множеств теорема Диаконеску показывает, что аксиома выбора подразумевает закон исключенного третьего (в отличие от теории типов Мартина-Лёфа, где он этого не делает). Таким образом, аксиома выбора обычно недоступна в конструктивной теории множеств. Причина этого различия в том, что аксиома выбора в теории типов не обладает свойствами экстенсиональности, которыми обладает аксиома выбора в конструктивной теории множеств.
Некоторые результаты в конструктивной теории множеств используют аксиому счетного выбора или аксиому зависимого выбора, которые не влекут за собой закон исключенного третьего в конструктивной теории множеств. Хотя аксиома счетного выбора, в частности, обычно используется в конструктивной математике, ее использование также подвергается сомнению.
Вам также может быть интересно прочитать раздел « Варианты » на странице nLab в AoC и эту цитату со страницы nLab в «topos» :
Внутренняя логика топосов есть интуиционистская логика высшего порядка. Это означает, что, хотя закон исключенного третьего и аксиома выбора могут не сработать, помимо этого, каждое логическое утверждение, не зависящее от них, имеет внутреннюю силу для каждого топоса.
Таким образом, в дополнение к комментарию @celtschk о том, что ответ «зависит от того, что, по вашему мнению, описывает теория множеств», он также зависит от конкретной теории множеств, в которой он работает.
Это зависит от того, что, по вашему мнению, описывает теория множеств. Если вы думаете, что теория множеств описывает какую-то независимо существующую структуру (множества, которые существуют независимо от теории множеств), то, конечно, для этой независимо существующей структуры либо верна аксиома выбора, либо нет.
Однако другая точка зрения состоит в том, что множества определяются теорией множеств в том же смысле, в каком групповые элементы определяются теорией групп. В теории групп утверждение «существует групповой элемент, положительная степень которого не является единицей» (назовем его «гипотезой бесконечного порядка») не зависит от групповых аксиом. Однако никто не стал бы считать это проблемой; это просто означает, что существуют модели теории групп (то есть группы), в которых «гипотеза бесконечного порядка» верна (например, аддитивная группа целых чисел), и есть другие, в которых «гипотеза бесконечного порядка» ложна (например, аддитивная группа целых чисел по модулю 3).
Однако обратите внимание, что даже если вы предполагаете, что существуют некоторые «истинные множества», независимые от теории множеств ZF, для описания которых предназначена теория множеств, то независимость AC от аксиом теории множеств ZF не нарушает закон исключенного третьего. Это просто означает, что их недостаточно для описания всех аспектов этих «истинных множеств»; в частности, они не позволяют решить, все ли множества допускают функцию выбора.
Обратите внимание, что аксиома бесконечности также не зависит от других аксиом теории множеств; логично предположить, что существуют только наследственные конечные множества (т. е. конечные множества, элементы которых также конечны, как и элементы их элементов и т. д.). Если вы думаете о теории множеств как описывающей некие «истинные множества», то вы также можете спросить, верна ли для них аксиома бесконечности (т. е. существуют ли на самом делесуществуют бесконечные множества). Если, однако, вы рассматриваете теорию множеств просто как описание класса моделей, то теория множеств с бесконечностью просто описывает конкретный подкласс моделей (а именно те, которые на самом деле имеют бесконечные множества), а затем добавление аксиомы выбора снова описывает конкретную модель. подкласс этих моделей (а именно класс моделей, в которых все множества имеют функцию выбора), мало чем отличающийся от того, как теория абелевых групп описывает подкласс моделей (групп), которые описывает теория групп (а именно, подкласс групп, групповая операция которых коммутативный).
Каньон
Clclstdnt
пользователь4894
Clclstdnt
пользователь6559