Мотивы математического платонизма

Из того, что я понял, для реалистов, которые особенно любят старый добрый математический платонизм, включенный в их онтологию, кажется, есть два способа добраться до него. Первая, по-видимому, связана с потребностью в создателях истины для математических утверждений/истин, отсюда постулирование математических объектов как абстрактных объектов, которые служат создателями истины. Другой путь состоит в том, чтобы выстроить Аргумент о незаменимости Куайна-Патнэма или какую-либо его современную вариацию и сделать вывод об их существовании (прав ли я, думая, что это дедуктивный аргумент или это абдуктивный аргумент? Возможно, это версии обоих), отмечая что квантор существования является средством онтологической приверженности.

Прежде всего, ошибаюсь ли я, думая, что они представляют собой некоторые мотивы для принятия/положения математического платонизма? Во-вторых, есть ли другие мотивы для принятия/положения математического платонизма?

См. « Математический платонизм »: «Математический платонизм является результатом добавления к Существованию двух дополнительных утверждений : Абстрактности и Независимости ».
Во-первых, мотивация Куайна — это частный случай создания истины, изречение о незаменимости Куайна состоит в том, что мы должны допустить существование всех и только тех сущностей, которые делают наши лучшие теории истинными (после перефразирования). Поскольку это вывод к лучшему объяснению, оно является абдуктивным. Во-вторых, такие мотивы слишком философские и «мозговые» для большинства, математики часто ссылаются на прямую «интуицию» математических сущностей, Гедель и другие уподобляют ее чувственному восприятию физических объектов. Некоторые математические реалисты, такие как Берджесс, даже находят аргументы о незаменимости неприятными и неубедительными.

Ответы (1)

Я не могу говорить за платоников, которые рассуждают в том же духе, что вы упомянули выше. Я лично нахожу, что аргумент о незаменимости имеет не большую ценность, чем онтологическое «доказательство» Бога, а именно, что Бог не может быть высшим существом, не существуя (на что Кант отвечает: «С тем же успехом торговец мог бы добавить к своему счету несколько нулей, чтобы улучшить его». его экономическое положение»).

Но у математиков, верящих в теорию множеств, есть неотъемлемая причина быть платониками, по крайней мере, когда они непротиворечивы: согласно теории множеств существуют несчетные множества, т. е. множества с большим количеством элементов, чем когда-либо могут быть описаны, определены, упомянуты, воображены жителями по отдельности. Вселенной. Итак, если эти элементы и существуют, то они существуют не в человеческой математике (монолог, диалог, дискурс), а в лучшем случае в знании Бога. Кстати, именно так Кантор считал с самого начала.

Даже достаточно большие конечные множества обладают тем свойством, что их отдельные элементы никогда не могут быть описаны, упомянуты и т. д. коллективными обитателями вселенной. Вы неверно характеризуете неисчислимость.
@ user48942: В идеальной классической математике мы пренебрегаем ограничениями реальности, поскольку в противном случае не было бы даже потенциальной бесконечности, и с математикой было бы трудно справиться. Но счетность всех определений, имен и т. д. — доказуемый признак идеальной математики. Ваш аргумент смешивает две очень разные функции.
«несчетные множества, т. е. множества с большим количеством элементов, чем когда-либо могут быть описаны, определены, упомянуты, воображены индивидуально обитателями вселенной» — совершенно неверное определение. Вы тот, кто запутался, если вы имели в виду что-то другое, чем то, что вы написали.
Попробуйте подумать как математик: множество определений счетно. Следовательно, я прав, а вы ошибаетесь. Если вы не можете думать сами, но не верите мне, попробуйте почитать литературу. Например: Все возможные комбинации конечного числа букв принадлежат счетному множеству. Поскольку каждое действительное число должно быть определено конечным числом слов, действительных чисел может быть только счетное количество, что противоречит теореме Кантора и ее доказательству. [Герман Вейль, преемник Гильберта в Геттингене]
Если мы продолжим мысль о том, что каждое действительное число определяется арифметическим законом, то идея совокупности действительных чисел уже не будет необходимой. [Пол Бернейс, соавтор Гильберта] Бесчисленное множество символов отношения — такой системы обозначений не может быть. [Вильгельм Ф. Акерманн, соавтор Гильберта] Если мы определим действительные числа в строго формальной системе, они будут счетными. [Курт Шютте, последний ученик Гильберта]
@При чем тут "жители вселенной"? Я верю, что вы имели в виду одно, а написали другое, а теперь даже не видите, что сами написали. Существуют достаточно большие конечные числа, которые ни один обитатель вселенной не может представить себе индивидуально.
@ user4894 Пожалуйста, прочитайте внимательнее то, что я написал об идеальной математике. Чтобы было еще легче понять: в бесконечной и вечной вселенной можно определить каждое натуральное число. Однако большинство из несчетного множества чисел не могут быть определены. Поэтому они не являются частью математики.
Мотивы математического платонизма
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v