Рассчитать релятивистский импульс к кадру COM из двух произвольных скоростей?

4-импульс центра масс представляет собой сумму 4-импульсов частиц (без векторного символа или индекса, но v - четырехкомпонентные векторы) с использованием масс в качестве весов:

$$P_\mathrm{CM} = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

Длина - это масса комбинированной системы (в основном минус метрическая).

$$M^2 = |P|^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2m_1 m_2 v_1 \cdot v_2$$

Тогда четырехкратная скорость центра масс равна

$$v_\mathrm{CM} = {m_1v_1 + m_2 v_2 \over M}$$

а тройная скорость определяется отношением пространственных составляющих четырех вектора к временной составляющей:

$$v^0_\mathrm{CM} = {m_1\gamma_1 + m_2 \gamma_2 \over M}$$

Так что скорость центра масс:

$$\vec{v}_\mathrm{CM} = {m_1\gamma_1 \vec{v}_1 + m_2\gamma_2 \vec{v}_2 \over m_1\gamma_1 + m_2\gamma_2}$$

или средневзвешенное значение скоростей с использованием релятивистской массы (энергии). Эта формула обычно появляется с энергетическими буквами, заменяющими массовые буквы:

$$\vec{v}_\mathrm{CM} = { E_1 \vec{v}_1 + E_2 \vec{v}_2 \over E_1 + E_2}$$

Где m_1 и m_2 - массы,$v_1$и$v_2$4-скорости,$E_1$и$E_2$это энергии,$\gamma_1 = {1\over \sqrt{1-|\vec v_1|^2}}$и аналогично для$\gamma_2$.

Это легко, не так ли? Вы просто вычисляете общий импульс ($m_1v_1 + m_2v_2$). Тогда скорость кадра COM равна просто этому импульсу, деленному на общую массу, т.е.

$$v_{com} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$$

Я искал ответ на этот вопрос, используя только скорости кадров, без частиц. Вот что я пробовал:

Позволять$v_1$и$v_2$— скорости двух рамок, движущихся по$x$-ось относительно лабораторной рамы$F$. Другой кадр$F'$движется так же со скоростью$u$, и он видит предыдущие скорости как

$$v_1' = \frac{v_1-u}{1-v_1u} \quad\text{and}\quad v_2' = \frac{v_2-u}{1-v_2u}.$$ в единицах, где $c=1$. Определите скорость $u$быть в том случае, когда $F'$видит, что каждый кадр движется в противоположных направлениях с одинаковой скоростью: $$\begin{align} v_1' &= -v_2' \\ \frac{v_1-u}{1-v_1u} &= -\frac{v_2-u}{1-v_2u} \end{align}$$ Это приводит к квадратному уравнению $$u^2(v_1+v_2) - 2u(1+v_1v_2) + (v_1+v_2) = 0$$ с решениями $$u_\pm = \frac{(1+v_1v_2)\pm\sqrt{(1-v_1^2)(1-v_2^2)}}{(v_1+v_2)}$$ Обработка членов 2-го порядка $v_1^2$и $v_2^2$как небольшие количества, и игнорируя 4-й порядок $v_1^2v_2^2$, приближение к отрицательному решению $u_-$дает среднее $$u \approx \frac{v_1+v_2}{2}.$$ Вы можете проверить это $u_+$является как раз обратным, так что $u_+ u_- = 1$. Так $$\boxed{u = \frac{(c^2+v_1v_2) - \sqrt{(c^2-v_1^2)(c^2-v_2^2)}}{(v_1+v_2)}.}$$ в штатных единицах.