Неабелева киральная аномалия и однопетлевые диаграммы выше треугольной

Предположим, что киральные фермионы$\psi$взаимодействие с калибровочными полями$A_{\mu,L/R}$. С$P_{L/R} \equiv \frac{1\mp\gamma_{5}}{2}$и$t_{a,L/R}$обозначая образующие, соответствующее действие читается

$$S = \int d^{4}x\bar{\psi}i\gamma_{\mu}D^{\mu}\psi, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - iA_{\mu,L}^{a}t_{a,L}P_{L} - i\gamma_{5}A_{\mu,R}^{a}t_{a,R}P_{R}$$ Проверить наличие аномалии $\text{A}(x)$в законе сохранения для текущего $$J^{\mu}_{L/R,c} \equiv \bar{\psi}\gamma^{\mu}\gamma_{5}t_{c}\psi,$$ мы должны вычислить VEV ​​его ковариантной дивергенции: $$\tag 1 \langle (D_{\mu}J^{\mu}_{L/R}(x))_{a}\rangle_{A_{L/R}} \equiv \langle \partial_{\mu}J^{\mu}_{L/R,a} +f_{abc}^{L/R}A^{L/R}_{\mu,b}J^{\mu}_{L/R,c}\rangle_{A_{L/R}} \equiv \text{A}^{L/R}_{a}(x),$$ где $f_{abc}$является структурной константой.

Исследуем однопетлевые вклады (других вкладов не существует, как установили Адлер и Бардин) в$(1)$. В общем, нам приходится изучать треугольные диаграммы, ящичные диаграммы, пятиугольные диаграммы и т. д., возникающие из-за квантового эффективного действия.$\Gamma$. Из размерного анализа соответствующих интегралов заключаем, что трехточечная вершина

$$\Gamma_{\mu\nu\alpha}^{abc}(x,y,z) \equiv \frac{\delta^{3} \Gamma}{\delta A^{\mu}_{a}(x)\delta A^{\nu}_{b}(y)\delta A^{\alpha}_{c}(z)},$$ который порождает треугольную диаграмму, линейно расходится, четырехточечная вершина $\Gamma_{\mu\nu\alpha\beta}^{abcd}(x,y,z,t)$логарифмически расходится, пятиточечная вершина $\Gamma_{\mu\nu\alpha\beta\gamma}^{abcde}(x,y,z,t,p)$сходится и так далее.

В отличие от абелева случая, когда вклад в аномалию вносит только треугольная диаграмма, здесь вклад вносят больше диаграмм. Точно известно, что ненулевая аномалия в треугольной диаграмме требует ненулевого коэффициента

$$D_{abc}^{L/R} \equiv \text{tr}[t_{a},\{t_{b},t_{c}\}]_{L/R}$$ Ящичная диаграмма (с требованием симметрии Бозе) пропорциональна $$\tag 2 D_{abcd}^{L/R} \equiv \text{tr}[t_{a}\{t_{b},[t_{c},t_{d}]\}] = if_{cde}D^{L/R}_{abe},$$ а диаграмма пятиугольника - к $$\tag 3 D_{abcde}^{L/R} \equiv \text{tr}[t_{a}t_{[b}t_{c}t_{d}t_{e]}] \sim f_{r[bc}f_{de]s}D^{L/R}_{ars}$$ Поэтому, похоже, они тоже вносят свой вклад в аномалию. Более того, из условий совместности Весса-Зумино мы видим, что по крайней мере ящичная диаграмма дает вклад в неабелеву аномалию.

У меня два вопроса из-за этого.

1) Киральная аномалия возникает в результате невозможности определения локального (по импульсам) функционала действия, порождающего контрчлен, отменяющий поправки, нарушающие калибровочную инвариантность в n-точечных вершинах. Диаграмма треугольника линейно расходящаяся, и из-за бозе-симметрии можно показать, что только нелокальное действие может породить аномалию в пределе малых импульсов. В этом духе мы можем отменить диаграммы прямоугольника и пятиугольника (которые расходятся линейно), добавив локальные контрчлены (именно линейный сдвиг импульса интегрирования не вызывает появления аномальных поверхностных членов), так что я не понять, почему они вносят свой вклад в аномалию$(1)$.

2) Если есть причина, по которой их нельзя отменить добавлением контрчлена, то как насчет шестиугольных диаграмм и т.п.? Почему они исчезают? Из-за чего-то вроде тождества Якоби для структурных констант?

Правка

По-видимому, ответ заключается в том, что следующие диаграммы вносят вклад в аномалию$(1)$, но не из-за$(2)$,$(3)$(последнее просто показывает, что аномальный вклад коробчатой ​​и пятиугольной диаграмм исчезает, если нет треугольной аномалии). Причина внесения вклада заключается в структуре аномальной идентичности Уорда.

Предположим, мы имеем дело с последовательной аномалией. Тогда мы имеем (я опустил нижний индекс$L/R$), по определению,

$$-\text{A}_{a}(x) = \delta_{\epsilon_{a}(x)}\Gamma \equiv \partial_{\mu}^{x}\frac{\delta\Gamma}{\delta A_{\mu,a}(x)} + f_{abc}A_{\mu,b}(x)\frac{\delta \Gamma}{\delta A_{\mu,c}(x)}$$ Личность Уорда для $n$-точечная вершина получается взятием $n-1$функциональные производные по $A_{\mu_{i},a_{i}}$и настройка $A_{\mu_{i},a_{i}}$до нуля. Можно показать, что тождества Уорда для производной 4-точечной вершины (логарифмически расходящейся) содержат аномальные 3-векторные функции. Поэтому мы видим, что вклад в аномалию вносит и 4-точечная вершина (не сама по себе, поскольку она только логарифмически расходится, а через линейно расходящуюся 3-точечную вершину).

А как насчет 5-точечной вершины? Тождества Уорда для ее производной содержат только 4-точечную функцию, так что на первый взгляд кажется, что она не дает вклада в аномалию. Однако в частных случаях это не так. Действительно, если один из токов$\text{J}_{\mu}^{a}$работающий в петле, является глобальным, мы можем сохранить калибровочную инвариантность, накачав аномалию в$\text{J}^{a}_{\mu}$закон сохранения. Это реализуется, в частности, заменой 4-точечной вершины (а не ее производной!) аномальным полиномом. Поэтому тождество Уорда для 5-точечной вершины становится аномальным. Однако и в этом случае эта вершина может не давать вклада в аномалию (возникает ситуация, когда глобальный ток абелев); в этом случае$A^{4}$член в аномалии тождественно обращается в нуль из-за групповых аргументов.

Это также иллюстрирует, почему нет аномального вклада от производной гексагональной диаграммы и выше.