Нечетная связь с эпсилон/дельта-инвариантными тензорами SO(3)

Группу вращений SO(3) можно рассматривать как группу, которая сохраняет наших старых друзей дельта-тензор$\delta^{ab}$и$\epsilon^{abc}$(полностью антисимметричный тензор). В уравнениях это говорит:

1. $R^i_{ a}R^j_{ b} \delta^{ab} = \delta^{ij}$, он же$RR^T = I$. и
2. $R^i_{ a}R^j_{ b}R^k_c \epsilon^{abc} = \epsilon^{ijk}$, он же$Det(R) = 1$.

Когда мы выводим тот факт, что алгебра Ли с использованием R бесконечно мало отличается от I,$R = I + \delta R$, первое условие дает нам

1Б$\delta R_{ab} = -\delta R_{ba}$.

Это все очень знакомо, антисимметричные матрицы. Поскольку мы находимся вблизи единичной матрицы, определитель$R$автоматически один, и нам не нужно подключать$R = I + \delta R$в состояние 2.

Но если мы это сделаем и объединим с 1B, мы получим тождество между$\delta$и$\epsilon$это выглядит так:$\iota^{abijk} = \delta^{ak} \epsilon^{ijb}+\delta^{aj} \epsilon^{ibk}+\delta^{ai} \epsilon^{bjk} -\delta^{bk} \epsilon^{ija}-\delta^{bj} \epsilon^{iak}-\delta^{bi} \epsilon^{ajk}=0$. (Я принимаю большое выражение за определение$\iota$.)

Это тождество, кажется, работает численно. Проблема в том, что при вычислении явных коммутаторов для спиноров в алгебре Лоренца в КТП это тождество продолжает появляться в различных формах (как правило, это затрудняет упрощение ответа до желаемой формы, пока вы его не узнаете).

Вопрос в том, есть ли хороший способ понять это тождество и другие, которые могут возникнуть с инвариантными тензорами группы Лоренца.$\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma}$, или даже с более общими группами Ли. Я посмотрел на диаграммную форму тождества и не увидел там никакого просветления (хотя это помогло мне доказать себе, что оно должно быть верным численно).

Изменить: из соображений избегания циклической логики в дальнейшем я буду предполагать, что некоторая группа определяется$\delta$и$\epsilon$будучи инвариантными тензорами, но я не знаю, какие это тензоры, т.е. они не обязательно являются кронекер-дельта и полностью антисимметричными тензорами. Я определяю версию с более низким индексом$R_{ab}$группового элемента$R^a_b$используя$\delta$тензор. Я думаю, что могу делать это последовательно, и что это единственные факты о$\epsilon$и$\delta$Я действительно использовал.

Явно, подключение к 2 дает$\delta^i_a \delta^j_b \delta R^k_c \epsilon^{abc} + \delta^i_a \delta^k_c \delta R^j_b \epsilon^{abc} +\delta^k_c \delta^j_b \delta R^i_a \epsilon^{abc} = 0$. Факторизация$\delta R$дает 1С:$\delta R_{ab} (\delta^{ak} \epsilon^{ijb}+\delta^{aj} \epsilon^{ibk}+\delta^{ai} \epsilon^{bjk})=0$. Однако по условию 1В$\delta R_{ab}$является антисимметричным. Только антисимметричная часть вещи умножается$\delta R_{ab}$способствует. Поэтому мы получаем$\delta R_{ab} \iota^{abcde} =0.$Логично, что это может быть дополнительным условием для$\delta R$, но для SO(3) по крайней мере кажется, что$\iota^{abcde}$просто всегда$0$, что я приводил выше на основании того факта, что условие 2 эквивалентно$Det(R) = 1$. Я не знаю, что происходит в целом.