Неевклидовы пространства в квантовой механике

Гильбертово пространство физических состояний любой физической системы представляет собой положительно определенное комплексное векторное пространство, т. е. квадрат собственной длины можно вычислить как

$$ds^2 = |da_1|^2 + |da_2|^2 + \dots$$ Мы также можем разделить комплексные координаты («амплитуды») $a_i$к действительным частям и мнимым частям, что превращает $N$-мерное комплексное пространство к $2N$-мерное реальное евклидово пространство. При этом переходе мы также можем определить углы между двумя векторами через $$\cos(\alpha) = \frac{|\langle u| v \rangle|}{|u|\cdot |v|}$$ Существует несколько основных обобщений этого «евклидова» пространства на неевклидово.

Во-первых, некоторые термины$|da_i|^2$в формуле для$ds^2$могут быть даны отрицательные коэффициенты; в более общем случае билинейная форма может быть неопределенной. Если оно отрицательно определено, мы получаем изоморфное гильбертово пространство, и мы должны просто поменять общий знак$ds^2$для достижения обычного, положительно определенного соглашения. Но если$ds^2$действительно неопределенно, т.е. допуская оба знака, у нас есть проблема с интерпретацией квантовой механики, потому что$ds^2$интерпретируется квантовой механикой как вероятность, и вероятности просто не могут быть отрицательными (не могут иметь оба знака).

Таким образом, неопределенные гильбертовы пространства невозможны для теории, которую можно интерпретировать физически. Однако на самом деле неопределенные гильбертовы пространства часто появляются в современных теориях как промежуточный шаг — в теориях с калибровочными симметриями, плохими духами и хорошими духами (БРСТ-квантование). Например, естественно иметь гильбертово пространство с 4 поляризациями фотона для каждого разрешенного вектора$k^\mu$; сигнатура этого 4-комплексно-мерного пространства$3+1$, как и для пространства-времени. Но калибровочная симметрия и связанный с ней закон Гаусса делают$1+1$поляризации нефизические, оставляя только 2 физические поляризации (скажем,$x,y$) с положительно определенной нормой. Это главный пример для всех аналогичных ситуаций.

Другим возможным неевклидовым обобщением может быть искривленное риманово пространство. Гильбертово пространство нельзя деформировать в искривленное из-за принципа суперпозиции — в квантовой механике просто должна быть разрешена и линейная комбинация двух разрешенных векторов. Неизвестная последовательная нелинейная деформация квантовой механики неизвестна и, вероятно, не может существовать. В конце концов, свобода рассматривать линейные суперпозиции — это всего лишь сложный аналог свободы рассматривать линейные суперпозиции вероятностных распределений.

Можно также попытаться обсудить некоммутативные обобщения гильбертова пространства. Но из-за неуместности общего масштабирования вектора,$|\psi\rangle \to a |\psi\rangle$, не должно быть и параметра, аналогичного «параметру некоммутативности» в гильбертовом пространстве. Некоммутативные пространства полезны в квантовой механике, но они обобщают классические фазовые пространства (поскольку$p,x$не коммутируют в квантовой механике), а не в гильбертовых пространствах.