Неперенормируемая ϕ6−ϕ6−\phi^6-теория как эффективная теория поля

Здесь есть небольшая путаница.

Всякий раз, когда вы работаете с QFT, вы должны сначала определить его. Недостаточно просто выписать расходящиеся интегралы и утверждать, что они соответствуют амплитудам переходов. Это не имеет смысла.

Итак, я предполагаю, что вы имеете в виду следующее: определить теорию с явным ограничением по импульсной шкале.$\Lambda$такое, что все интегралы конечны. Учитывать$\Lambda$так же физически, как и другие константы, такие как масса$m$и константа связи$\lambda$.

С этим определением связана целая куча вопросов. Как, например,

• Неясно, как последовательно наложить ограничения импульса на петлевые интегралы, поскольку мы можем перейти к различным переменным интегрирования петлевых импульсов, для которых должны применяться разные ограничения. Обратите внимание, что вы не заботитесь об этой тонкости, когда$\Lambda \gg p$.
• Теория с обрезанием импульса не является лоренц-инвариантной. Это просто не так. Однако этим нарушением Лоренца можно пренебречь, когда$\Lambda \gg p$.

Список можно продолжать, но я думаю, что уже высказал свою точку зрения. Но скажем, что мы как-то нашли относительно удовлетворительные ответы на все вышеперечисленные вопросы. Что теперь?

1. Нуждается ли эта теория в перенормировке? Если да, то почему?

Да! Перенормировка не связана с избавлением от бесконечности и не с избавлением от нефизического$\Lambda$(хотя он одновременно достигает обеих этих целей). Речь идет об осмыслении результатов, которые дает ваша теория.

Как, например, вы хотели бы интерпретировать вашу теорию с точки зрения частиц.$S$-матрица, соответствующая рассеянию частиц. Что вам нужно, чтобы дать вашей теории интерпретацию частиц? Одно из требований состоит в том, чтобы 2-точечная функция имела полюс, когда$p^2 = M^2$с вычетом 1. Это следует непосредственно из нормировки состояний и позволяет говорить о взаимодействующих частицах массы$M$которые должна описывать ваша теория.

Если вы вычислите эту двухточечную функцию в некотором порядке цикла, вы обнаружите, что и положение, и значение полюса не равны.$m$и$1$как вы могли бы ожидать наивно, но зависит от$\Lambda$. Но что это значит? Это означает, что ваши частицы имеют массу$M = M(m, \lambda, \Lambda)$и генерируются оператором пространства Фока, связанным с физической наблюдаемой$Z(m, \lambda, \Lambda) \cdot \phi$, а не только оператор поля$\phi$.

Опять же, перенормировка связана с переинтерпретацией предсказаний с точки зрения взаимодействующих частиц .

2. Если да, то вместо того, чтобы говорить$\boldsymbol{\phi^6}$Чтобы быть неперенормируемой теорией, не должны ли мы сказать, что (i) она перенормируема при низкой энергии, но (ii) неперенормируема при высоких энергиях?

Происходит следующее: корреляционные функции более высокой валентности становятся сильно зависимыми от$\Lambda$даже в$\Lambda \gg p$режим. Физически ваша теория становится патологически чувствительной к короткомасштабным флуктуациям.

С перенормируемыми теориями мы можем сказать, что$\Lambda$очень велико и соответствует границе области применимости нашей теории. Но точные детали этой границы не важны для физики дальнего действия: мы можем просто принять предельное значение для корреляций более высокой валентности.

В случае$\phi^6$в$4d$хотя это не так. Вместо этого у нас есть следующее неперенормируемое поведение :

Свойства дальнодействия вашей теории явно зависят от деталей процедуры отсечки. Это может быть значение$\Lambda$, то, как вы разрешаете неоднозначность отсечки в переменных интегрирования импульсов цикла, массах полей регуляризатора Паули-Вилларса и т. д. Ключевой факт заключается в том, что ваши результаты зависят от чего-то, для чего вы не можете сказать, как это работает и если это физическое или нет. Вот чем плоха неперенормируемость.

С неперенормируемыми теориями вы можете настроить теорию так, чтобы она давала любые предсказания, которые вы хотите, просто немного изменив механизм отсечки. Там не так много предсказательной силы.

ОБНОВЛЕНИЕ: хорошо, я признаю, что это не на 100% правда. Я пытался донести мысль в контексте HEP, но как только вы отбросите свои амбиции по описанию произвольных высокоэнергетических процессов, вы действительно сможете сделать что-то полезное и с неперенормируемыми теориями.

Например, можно зафиксировать порядок теории возмущений$k$ до перенормировки, а затем просто определить значения контрчленов из экспериментов. В случае перенормируемых теорий это можно было бы сделать один раз , т. е. используя фиксированное конечное число контрчленов, не зависящее от порядка теории возмущений. Но неперенормируемые теории требуют все большей и большей настройки и настройки с увеличением порядка.

Конечно, можно утверждать, что это нормально, поскольку разложение теории возмущений — это всего лишь асимптотический ряд, и, таким образом, даже перенормируемые теории не могут быть решены с априорной произвольной точностью с использованием теории возмущений. И это, наверное, правда.

Есть еще одно свойство неперенормируемых теорий, связанное с потоком ренормализационной группы Вильсона. Эффективные связи, используемые в теории возмущений, взрываются в ультрафиолетовом режиме, что делает бессмысленным все понятие теории возмущений. Таким образом, мы получаем фазовые переходы в высокоэнергетическом режиме, которые мы не можем описать с помощью теории возмущений.

Стоит также отметить, что такие фазовые переходы не являются специфическими для неперенормируемых теорий. В качестве полезного примера, КЭД (квантовая электродинамика), хотя и перенормируемая, имеет ультрафиолетовый фазовый переход (проблема полюса Ландау). Перенормируемые теории без этих фазовых переходов называются асимптотически свободными.

А асимптотической свободы вместе с перенормируемостью достаточно, чтобы установить, что теория HEP может использоваться для разумных предсказаний вплоть до любой энергии, связанной с границей ее области применимости. Это связано с тем, что чем дальше в УФ вы продвигаетесь, тем меньше становится связь, что делает асимптотическое разложение лучшим приближением для еще большего порядка в теории возмущений (помните, что чем ближе связь к нулю, тем больше порядков теории возмущений мы получаем). можно доверять, не беспокоясь о взрыве асимптотического расширения?).