Неравенство Клаузиуса, приводящее к абсурдному результату

Учитывая результат

$$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}<S(B)-S(A)$$ для бесконечно малого пути получаем $$\mathrm{d}S\ge\frac{\mathrm{d}Q}{T}$$ где равенство имеет место только для обратимого процесса (по определению энтропии).

Это означает, что в вашем выражении

$$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T},$$ $\frac{\mathrm{d} Q}{T}$не равно$\mathrm{d}S$потому что процесс необратимый. Вместо этого у вас есть$\frac{\mathrm{d} Q}{T}<\mathrm{d}S$и так $$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}<\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \mathrm{d}S=S(B)-S(A)$$ что является исходным результатом.

Для необратимого пути между теми же двумя конечными состояниями dQ отличается от dQ для обратимого пути, и в интеграле dQ/T для необратимого пути предполагается использовать температуру на границе раздела между системой и окружающей средой.$T_B$. Итак, для необратимого пути вы должны использовать

$$\int{\frac{dQ_{irrev}}{T_B}}$$ Таким образом, два интеграла не похожи друг на друга. Правильная форма неравенства должна звучать так: $$\Delta S\geq \int{\frac{dQ_{irrev}}{T_B}}$$

Я считаю, что следующее из книги Энрико Ферми является наиболее явным выводом, который показывает:

$$dS \geq \frac{dQ}{T}$$

Глядя на замкнутый интеграл отношения поглощенного (или отданного, в зависимости от знака) тепла к температуре термостата вдоль каждой изотермы в цикле (обратимом или нет),

$$\oint \frac{dQ}{T}=\int_{A}^{B} \frac{dQ}{T}+\int_{B}^{A}\frac{dQ}{T} \leq0$$

Мы можем взять прямую часть цикла$(A\rightarrow B)$как необратимое преобразование, а обратная часть цикла$(B\rightarrow A)$как обратимое превращение. Это допустимо, потому что даже необратимые циклы ведут себя одинаково на протяжении всей прямой части цикла. Мы просто говорим, что в качестве предельного случая наш цикл ведет себя обратимо на обратном пути:

$$(TdS=dQ)_{B \rightarrow A}$$ Поэтому,

$$\int_{B}^{A}dS=\int_{B}^{A}\frac{dQ}{T}=S(A)-S(B)$$

$$\int_{A}^{B}\frac{dQ}{T} + S(A)-S(B) = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}-[S(B)-S(A)] \leq 0$$

Наоборот,

$$S(B)-S(A) \geq \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}$$

$$dS \geq \frac{dQ}{T}$$