Сделать неразличимые частицы различимыми?

В принципе верно то, что вы не можете различить две одинаковые частицы. Однако, если перекрытие между волновыми функциями двух частиц близко к$0$, вы часто можете рассматривать частицы как различимые. В основном это происходит в двух случаях:

1. Частицы, разделенные «достаточно высоким» потенциальным барьером

Если две идентичные частицы разделены «достаточно высоким» потенциальным барьером (например, «маленьким ящиком», но также и потенциальной ямой, соответствующей узлу решетки), перекрытие между соответствующими волновыми функциями очень мало (в идеальном случае бесконечный потенциальный барьер, перекрытие строго$0$). Это означает, что мы всегда сможем с высокой степенью точности сказать, где какая частица, т. е. мы можем с высокой степенью точности считать их различимыми.

См. также этот ответ Арнольда Ноймайера.

2. «Далекие» частицы

Если две идентичные частицы находятся «далеко» друг от друга, мы можем считать их различимыми.

Возьмем, к примеру, два далеких электрона: поскольку они являются неразличимыми фермионами, их волновая функция равна

$$\Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)=\frac 1 {\sqrt 2} [\psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)-\psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)]$$

Теперь рассмотрим ожидаемое значение некоторого наблюдаемого$\mathcal O$:

$$\langle \mathcal O \rangle = \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\Psi^*(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \ \mathcal O \ \Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)]=\\ \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)] - \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)]$$

Предположим, что$\psi_1$и$\psi_2$достаточно локализованы, т. е. что$\psi_1$заметно отличается от$0$только в домене$D_1 \in \mathbb R^3$и что$\psi_2$заметно отличается только от$0$в домене$D_2 \in \mathbb R^3$, и что$D_1$и$D_2$не пересекайтесь. Тогда мы будем иметь на второй срок

$$\int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)] \\ \approx \int_{D_1} \int_{D_2} d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)] \approx 0$$

с$\psi_1 \approx 0$в$D_2$и$\psi_2 \approx 0$в$D_1$. Следует, что

$$\langle \mathcal O \rangle \approx \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)]$$

Это означает, что волновая функция

$$\tilde \Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2) = \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)$$

которая является волновой функцией для различимых частиц , дала бы нам примерно такой же результат! Поэтому мы можем считать удаленные частицы различимыми.

См. также этот ответ от tparker.

Поскольку все фермионные операторы рождения антикоммутируют, волновая функция любых двух фермионов всегда должна быть антисимметричной. Это верно, даже если фермионы имеют разные спины, разные цвета или даже если они являются совершенно разными частицами, такими как нижний кварк и тау-нейтрино.

Однако во многих случаях этим можно пренебречь. Общее правило состоит в том, что фермион может быть исключен из антисимметризации, если он обладает свойством, которого нет ни у одного другого фермиона.

Например, рассмотрим атом, в котором все электроны фиксируются со спином вверх, за исключением одного, который имеет фиксированный спин вниз. Тогда принцип запрета Паули не накладывает никаких ограничений на пространственное состояние электрона со спином вниз, так что ничего не случится, если мы будем рассматривать этот электрон как отличимый от остальных; вы не получите никаких незаконных конфигураций. Концептуально частица отличается своим спином. (Это не имеет ничего общего с тем, может ли конкретная экспериментальная установка провести различие. Это математический факт, который был верным даже в каменном веке.)

Точно так же можно различить кварки в мезоне, потому что только один из них является антикварком, а кварки в барионе — нет, см . здесь . В случае спинов, положение которых зафиксировано на решетке, каждый спин имеет уникальную позицию, поэтому все они различимы по своим позициям.

Более тонкая версия этого трюка используется для классического идеального газа. Волновая функция каждой частицы имеет вид$\psi_{\text{spatial}} \psi_{\text{spin}}$. Мы предполагаем, что каждая частица имеет определенное пространственное состояние; как только это учтено, частицы становятся различимыми благодаря их положению для целей присвоения спинов. Но это, конечно, неверно: две частицы могут иметь одинаковое пространственное состояние и противоположные спины. Приближение, сделанное для классического идеального газа, состоит в том, что газ достаточно разрежен, поэтому этой конфигурацией можно пренебречь. Если это не так, вы должны использовать полную статистику Ферми-Дирака.

Так когда же неразличимая частица различима? Сделает ли исправление их местоположения их различимыми?

Частицы различимы, когда они находятся в разных собственных состояниях: возбужденный атом водорода, поглотивший фотон, можно отличить от атома водорода с электроном в основном состоянии.

Также спин может отличить одну частицу от другой. Распад pi0 на две гамма: если одна гамма имеет спин +1, другая должна иметь спин -1 и, таким образом, отличима от первой.

Локации — это континуум. В решетке снова энергия (возбужденная или на уровне земли) и спин могут различать частицы, в зависимости от эксперимента.

Частицы можно различить, если они имеют разные собственные значения для некоторых наблюдаемых, в противном случае они неразличимы.