Математическая демонстрация

Несложно понять, почему это происходит, если использовать теорию линейного отклика. Рассмотрим общий затухающий гармонический осциллятор. Есть три силы, восстанавливающая сила$F_\text{restoring} = - k x(t)$, сила трения$F_\text{friction} = - \mu \dot{x}(t)$, а движущая сила$F_\text{drive}(t)$. Закон Ньютона говорит$F(t) = m \ddot{x}(t)$который дает

$$-k x(t) - \mu \dot{x}(t) + F_\text{drive}(t) = m \ddot{x}(t) \, .$$ Разделив на $m$и определение $\phi(t) \equiv x(t)/m$, $\omega_0^2 \equiv k/m$, $2 \beta \equiv \mu/m$, и $J(t) \equiv F_\text{drive}(t)/m$, мы получили $$\ddot{\phi}(t) + 2\beta \dot{\phi}(t) + \omega_0^2 \phi(t) = J(t) \, .$$ Это хорошая общая форма гармонического генератора с затуханием.

Письмо$\phi(t)$как преобразование Фурье

$$\phi(t) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, \tilde{\phi}(\omega) e^{i \omega t}$$ и подставляя в уравнение движения, находим $$\left( - \omega^2 + i 2 \beta \omega + \omega_0^2 \right) = \tilde{J}(\omega)$$ который можно переписать как $$\tilde{\phi}(\omega) = - \frac{\tilde{J}(\omega)}{\left( \omega^2 - i 2 \beta \omega - \omega_0^2 \right)} \, .$$

Возьмем случай, когда привод является косинусом, т.е.$J(t) = A \cos(\Omega t)$. В таком случае$\tilde{J}(\omega) = (1/2)\left(\delta(\omega - \Omega) + \delta(\omega + \Omega) \right)$так что если вы все это работаете, вы найдете

$$\phi(t) = \Re \left[ - \frac{A e^{i \Omega t}}{\Omega^2 - i 2 \beta \Omega - \omega_0^2} \right] \, .$$ Это легко проверить $\phi(t)$имеет наибольшую амплитуду, когда $\Omega = \omega_0 \sqrt{1 - 2 (\beta / \omega_0)^2}$, который уменьшается как $\beta$увеличивается. Помните, что $\beta$прямо пропорциональна коэффициенту трения $\mu$Итак, мы показали, что большее трение приводит к тому, что пик смещается к более низкой частоте.

Резонанс

Мы показали, что амплитуда осциллятора зависит от коэффициента затухания. Однако это не означает, что резонанс смещается в сторону более низких частот. Резонанс — это состояние , определяемое однонаправленным потоком энергии от привода к системе. Оказывается (это легко показать с помощью уже проделанной нами математики), что это происходит, когда$\Omega = \omega_0$, то есть привод находится на той же частоте, что и частота незатухающих колебаний. На эту тему уже есть хороший пост, который я рекомендую прочитать.

Оригинальные вопросы

Почему это происходит?

Что ж, мы математически показали, почему. Интуитивно это связано с тем, что трение забирает кинетическую энергию, поэтому осциллятор не уходит так далеко от равновесия в каждом цикле.

Означает ли это, что при более высоких уровнях демпфирования нельзя добиться большей амплитуды, задав период вынужденных колебаний равным собственной частоте?

Предполагая постоянную амплитуду привода, да.

Это кажется странным, потому что наибольшая амплитуда достигается, когда собственная частота равна частоте возбуждения. Но я предполагаю, что для случая демпфирования правила несколько иные.

Действительно, демпфирование немного меняет дело.

Другое чтение

• Хороший пост о значении "коэффициента качества" .

Я попытаюсь ответить на ваш вопрос на концептуальной основе, потому что задействованная математика, как правило, затемняет концепцию. Для массы, которая подпрыгивает вверх и вниз на пружине в воздухе, система почти полностью не затухает, и пружина будет колебаться с частотой, которая зависит от постоянной пружины и общей массы, которая колеблется. Если я возьму ту же систему и помещу массу в жидкость, например воду, на массу будут действовать значительные силы сопротивления, и частота колебаний уменьшится. Кроме того, амплитуда колебаний будет экспоненциально затухать из-за демпфирования.

Чтобы возник резонанс, мне пришлось бы управлять системой без демпфирования или с демпфированием на ее собственной частоте. При этом максимальная амплитуда незатухающей системы будет иметь тенденцию к неограниченному увеличению (она сломается), в то время как максимальная амплитуда демпфированной системы будет ограничена вовлеченным демпфированием, при этом большее демпфирование приведет к меньшей максимальной амплитуде, потому что демпфирующий агент поглощает энергию, вложенную в систему. Это означает, что высота максимальной амплитуды в условиях резонанса будет постепенно снижаться по мере увеличения степени демпфирования, а увеличение силы сопротивления также приведет к уменьшению резонансной частоты, как показано на вашем рисунке.

Я понимаю, что пружинно-массовая система — очень простой пример, но будьте уверены, математика, используемая для описания этой системы, будет очень похожа на математику, используемую для описания многих других типов колебательных систем. Обеспечивает ли это объяснение достаточное концептуальное понимание, чтобы объяснить ваш вопрос?

1. Математика недодемпфированного осциллятора становится особенно красивой, если мы используем вектор положения с комплексным знаком.$x$. [т.е. реальная часть${\rm Re}(x)$представляет физическое положение.] Просто преобразование Фурье:

   $$\begin{align}\ddot{x}+2b\dot{x}+\omega_0^2 x~=~&f\cr\cr \text{Fourier transf. }& {\Updownarrow} \cr\cr -\overbrace{\underbrace{(\omega^2+2ib\omega -\omega_0^2)}_{P(\omega)=(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)}}^{\text{characteristic polynomial}}\tilde{x}~=~&\tilde{f}.\end{align}\tag{1}$$

2. Предположим в этом ответе, что осциллятор недостаточно демпфирован , т.е.$\omega_0^2>b^2$. Характерные частоты

   $$\omega_{\pm}~=~\pm\overbrace{\underbrace{\omega_{\rm ring}}_{\text{oscillatory}}}^{\text{real}}-\overbrace{\underbrace{ib}_{\text{exp. decay}}}^{\text{imaginary}}\tag{2}$$ - комплексные частоты, которые выбрала бы система, если бы не было внешней силы$f$. Здесь $$\omega_{\rm ring}~:=~\sqrt{\omega_0^2-b^2} \tag{3}$$ известна как частота звонка, синусоидальная частота или затухающая собственная частота.

3. Резонансная частота _

   $$\omega_{\rm peak}~=~\sqrt{(\omega_0^2-2b^2)_+}~:=~\sqrt{\max(\omega_0^2-2b^2,0)}\tag{4}$$ является минимальной точкой для абсолютного значения $$|P(\omega)|~=~\sqrt{(\omega^2-\omega^2_0)^2+4b^2\omega^2}, \qquad \omega \geq 0,\tag{5}$$ характеристического многочлена. Это соответствует максимальному усилению (или пиковой передаче) вынужденного генератора.

4. Предположим для простоты, что$\omega_0^2>2b^2$, так что резонансная частота$\omega_{\rm peak}>0$не равно нулю. Тогда квадрат

   $$\omega_{\rm ring}^2~=~\omega_0^2-b^2\tag{6}$$ частоты звонка находится точно между квадратом $$\omega_{\rm peak}^2~=~\omega_0^2-2b^2\tag{7}$$ резонансной частоты и квадрата$\omega_0^2$незатухающей собственной частоты.

$$\begin{array}{rccc ccl} &--|--&--&--&--&--|-- \hspace{2ex} --|-- \hspace{2ex} --|--&--> \quad\omega^2\cr &0&&&&\omega_{\rm peak}^2 \hspace{7ex} \omega_{\rm ring}^2 \hspace{7ex} \omega_0^2&\cr &&&&& \underbrace{\hspace{11ex}}_{b^2} \underbrace{\hspace{11ex}}_{b^2} &\end{array}$$ $\uparrow$Рис. 1: Резонансная частота$\omega_{\rm peak}$и частота звонка$\omega_{\rm ring}$уменьшаться с увеличением трения$b$.

5. Теперь вернемся к вопросу ОП:

   Почему пик смещается к более низким частотам при увеличении степени демпфирования?

   Ответ: OP, по сути, требует интуиции за отрицательным коэффициентом перед$b^2$в уравнении (7). Вот один аргумент: интуитивно понятно, что резонансная частота (7) и частота звона (6) будут смещаться в одном и том же направлении при увеличении трения.$b$, т.е. интуитивно понятно, что знаки перед$b^2$в уравнениях (6) и (7) совпадают. При этом отрицательный коэффициент перед$b^2$в уравнении (6) имеет физический смысл: когда мы увеличиваем трение$b$, в какой-то момент осциллятор становится передемпфированным с чисто мнимыми характеристическими частотами (2). Этот переход происходит только в том случае, если коэффициент перед$b^2$отрицательно, что отвечает на вопрос ОП.

У вас уже есть хороший математический ответ, поэтому я сосредоточусь на ответе почти без уравнений.

Я полагаю, вы понимаете основы математики простого гармонического осциллятора.

Когда вы добавляете демпфирование, количество энергии, которое вы теряете за цикл, зависит от скорости: чем быстрее вы движетесь, тем больше энергии вы теряете (при той же амплитуде), потому что сила увеличивается с увеличением скорости.$k\dot{x}$.

Конечно, скорость пропорциональна частоте, поэтому осциллятор, работающий на более высокой частоте, будет терять больше энергии за цикл, чем осциллятор, работающий на более низкой частоте.

С другой стороны, наилучшая передача энергии в систему происходит, когда движущая сила точно на 90 градусов не совпадает по фазе с амплитудой (поэтому сила совпадает по фазе со скоростью), что происходит на незатухающей резонансной частоте.

По мере увеличения степени демпфирования фактор «больше энергии теряется за цикл» начинает превосходить фактор «больше энергии, поступающей за цикл». А это значит, что наибольшая амплитуда отклика смещается в сторону более низких частот.

Но я предполагаю, что для случая демпфирования правила несколько иные.

В обоих случаях исходами являются решения (дифференциальных) уравнений движения. В случае ведомого незатухающего генератора:

$$m\frac{d^2 x}{dt^2}+kx=F_0\cos(\omega t + \phi_d)$$

$\omega$– угловая скорость движущей силы. Решение этого дает результат на вашем графике.

Источник.