Скольжение по круглому кольцу: работа, совершаемая трением

Составьте уравнение движения для вращения тела вокруг центра.

Где:

$\tau=mg\cos\theta-\mu mg\sin\theta$

$I=mR^2$

$\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\omega\frac{d\omega}{d\theta}$

Так:

Интеграция между$0,\pi/2$и$0,\omega$чтобы получить выражение$\omega^2$в$\theta$. Затем используйте$v=\omega R$.

Затем рассчитайте выигрыш в кинетической энергии:$\Delta K=\frac{mv^2}{2}$(*) и потеря потенциальной энергии$\Delta U=mgR$. Разница между ними заключается в работе трения.

(*) Или используйте$\Delta K=\frac{I\omega^2}{2}$.

Вы почти там. Все, что вам нужно сделать сейчас, это понять, что скорость может быть выведена из кинетической энергии, которая представляет собой разницу между потерянной потенциальной энергией и работой, выполненной за счет трения. И у вас есть выражения для обоих из них. Посмотрим, получится ли у вас.

Для людей, интересующихся этой проблемой, вы также можете определить дифференциальное уравнение для самой дробной работы. Просто выразите дифференциальную работу как функцию угла, снова примените закон сохранения энергии для кинетической энергии, а затем решите появившееся дифференциальное уравнение с одним градусом. Подробности можно найти в старой публикации:

Франклин, Л.П., и Киммел, П.И. (1980). Динамика кругового движения с трением. Американский журнал физики, 48 (3), 207–210. дои: 10.1119/1.12306