Метод возмущения и собственные значения

У меня проблема, но я не понимаю вопроса. В нем говорится:

«Покажите, что в первом порядке по энергии собственные значения не изменяются». Что это значит? Это означает, что если гамильтониан имеет вид

ЧАС "=" ЧАС ( 0 ) + λ ЧАС ( 1 )

Где ЧАС ( 0 ) – гамильтониан невозмущенной системы, ЧАС ( 1 ) является возмущением и λ малый параметр, то если

Е н "=" Е н ( 0 ) + λ Е н ( 1 )

Где

Е н ( 1 ) "=" ⟨ ψ м ( 0 ) | ЧАС ( 1 ) | ψ м ( 0 ) ⟩

я должен показать это

Е н ( 1 ) "=" 0
?

Я в замешательстве. Спасибо за ваши ответы.

Этого не может быть. Если ЧАС ( 1 ) "=" 1 является скалярным, т.е. ЧАС "=" ЧАС ( 0 ) + ϵ 1 , собственные векторы не изменились, а собственные значения сдвинуты на λ "=" ϵ : Е н "=" Е н ( 0 ) + ϵ , так Е н ( 1 ) "=" ϵ .
Я думаю, что понимаю ваш комментарий, но я думаю, что это не мой вопрос, или я его не понимаю. С вашим предположением вы заключаете, что собственные значения сдвинуты, но не остаются неизменными.
Точно. Контрпример показывает, что вы неправильно понимаете вопрос. Какой бы конкретный результат вы ни намеревались доказать, он должен иметь место в конкретном случае, о котором я упоминал, чтобы иметь шанс на успех в целом.
О да, но ЧАС ( 1 ) не постоянна, на самом деле ЧАС ( 1 ) "=" − Ф Икс И ЧАС ( 0 ) является гамильтонианом гармонического осциллятора.

Ответы (1)

Как я упоминал в комментариях, утверждение, что Е н ( 1 ) ≡ 0 вообще не может выполняться, так как ему не подчиняется скалярное возмущение.

Однако для конкретного случая, который вы упомянули, линейного возмущения гармонического осциллятора это действительно так. Простейший способ увидеть это состоит в том, что возмущение можно включить в потенциал осциллятора, чтобы получить другой, смещенный, гармонический осциллятор:

1 2 м ю 2 Икс 2 − Ф Икс "=" 1 2 м ю 2 ( Икс − Ф м ю 2 ) 2 − Ф 2 2 м ю 2 .
Это смещено по положению, что для этих целей не имеет значения (хотя определенно влияет на собственные функции!), и смещено по энергии на − Ф 2 2 м ю 2 ∝ Ф 2 . Таким образом, не будет никакого сдвига энергии первого порядка.

Однако, что касается вашего вопроса, вам нужен аргумент теории возмущений, который докажет это, и вы должны построить его. Существенным моментом здесь является мысль о паритете: в ожидаемом значении

Е н ( 1 ) "=" ⟨ ψ м ( 0 ) | ЧАС ( 1 ) | ψ м ( 0 ) ⟩
собственные функции имеют определенную четность, как и возмущение. Что это влечет за собой?

Кстати, используя четность собственных функций, очевидно, что подынтегральная функция Е м ( 1 ) "=" ⟨ ψ м ( 0 ) | ЧАС ( 1 ) | ψ м ( 0 ) ⟩ странно (потому что ЧАС ( 1 ) ∝ Икс ), а из-за симметричных пределов интегрирования получается, что Е м ( 1 ) "=" 0 и тогда мы заключаем, что в первом порядке мы имеем Е н "=" Е н ( 0 ) , т. е. собственные значения не изменяются. Спасибо!
Есть еще более простой аргумент паритета. Потому что ЧАС ( 0 ) четная, зависимость возмущенных энергий от Ф должно быть точно таким же для задачи с обратной четностью. Это эквивалентно такому же возмущению с обращенным полем, т. е. зависимость возмущенных энергий от Ф должно быть четным. Тогда линейный член должен обратиться в нуль.
Метод возмущения и собственные значения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v