Проблема вывода уравнения Гамильтона-Якоби из вариационного принципа

Как я уже сказал, у меня есть проблема с пониманием рассуждений, из которых мы выводим уравнение Гамильтона–Якоби из вариационного принципа. Возьмем функционал Гамильтона:

$$S = \int_{t_0}^{t_1} [ p_{\alpha}\dot{q}^{\alpha} - H(q^{\alpha},p_{\alpha},t) ]\, dt$$

Первая вариация на фазовом пространстве этого функционала в самом общем виде:

$$(\delta S)_{\bar{\gamma}} = [p_\alpha \delta q^{\alpha} - H \delta t]_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} \left\{ \left[ \dot{q}^{\alpha} - \frac{\partial H}{\partial p_\alpha} \right]_{\bar{\gamma}}\pi_\alpha - \left[ \dot{p}_{\alpha} + \frac{\partial H}{\partial q^\alpha} \right]_{\bar{\gamma}}\eta_\alpha \right\}\, dt$$

Где изменение функционала S оценивается по деформации кривой${\bar{\gamma}} \to \gamma$в фазовом пространстве:

$$\bar{\gamma}: \begin{cases} q^{\alpha} = \overline{q}^{\alpha}(t) \\ p_{\alpha} = \overline{p}_{\alpha}(t) \\ A = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_0);\overline{p}_{\alpha}(t_0) \} \\ B = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_1);\overline{p}_{\alpha}(t_1) \} \\ \end{cases} \qquad t \in [t_0,t_1]$$ $$\gamma: \begin{cases} q^{\alpha} = \overline{q}^{\alpha}(t) + \lambda\eta_{\alpha}(t) \\ p_{\alpha} = \overline{p}_{\alpha}(t) + \lambda\pi_{\alpha}(t)\\ A' = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) + \lambda \eta_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) ; \overline{p}_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) + \lambda \pi_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) \} \\ B' = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1)+\lambda \eta_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1); \overline{p}_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1) + \lambda \pi_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1) \} \\ \end{cases} \qquad t \in [t_0 +\lambda \delta t_0,t_1 +\lambda \delta t_1]$$

Где$\eta_{\alpha}$и$\pi_{\alpha}$являются штатной функцией. Теперь в моих заметках мы выбираем$\bar{\gamma}$е мы позволяем$A=A'$, так что у нас есть начальная неподвижная точка. Тогда мы говорим, что на выбранной кривой выполняется уравнение Гамильтона, так что изменение S становится только:

$$(\delta S)_{\bar{\gamma}} = [p_\alpha \delta q^{\alpha} - H \delta t]_{t_0}^{t_1}$$

[ Первый вопрос Это законно? Если уравнения Гамильтона выведены из того же вариационного принципа, можем ли мы сказать "априори", что они справедливы на конкретном пути в фазовом пространстве? ]

Тогда считаем точку B подвижной, так что она зависит от времени. Таким образом, S больше не является функционалом, а является функцией времени. Таким образом, вариацию можно интерпретировать как дифференциал:

$$dS= p_\alpha d q^{\alpha} - H d t$$

[ Второй вопрос. Я хочу получить математическое доказательство, потому что для меня это не тривиально, как кажется.]

Тогда мы можем доказать, что S является функцией$S(q^{\alpha}(t), t ,q^{\alpha}(t_0), t_0 )$, так что:

$$dS = \frac{\partial S}{\partial q^{\alpha}}d q^{\alpha} +\frac{\partial S}{\partial t} dt$$

Приравнивая два результата, получаем:

$$\frac{\partial S}{\partial t} + H \left( q^{\alpha} , \frac{\partial S}{\partial q^{\alpha}}, t \right) = 0$$

Что представляет собой уравнение Гамильтона-Якоби.

Третий вопрос. Правильно ли это рассуждение формально? Мне это кажется не совсем правильным. А также, что более важно, знаете ли вы какую-нибудь книгу, в которой аргумент рассматривается таким или подобным образом, но более строго?