Гильбертово пространство, удовлетворяет ли |r⟩|r⟩|r\rangle ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Question

Гильбертово пространство, удовлетворяет ли |r⟩|r⟩|r\rangle ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Алекс

Допустим, мы начинаем без частиц: $\mid0\rangle$ . У нас есть $\vec{p}\vert0\rangle = 0$ , $H\vert0\rangle = 0$ , где мы игнорируем $\infty$ энергия вакуума. Также, $a(\vec{k})\vert0\rangle = 0$ для всех $\vec{k}$ . Теперь гильбертово пространство разбито на сектора $r$ состояния частиц, $r = 0$ , $1$ , $2, \dots$ . Генерал $r$ состояние частицы имеет вид

| р ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{р! \int \frac{г^{3} {\vec{к}}_{1}}{(2 π)^{3}} \dots \int \frac{г^{3} {\vec{к}}_{р}}{(2 π)^{3}} {| Ф ({\vec{к}}_{1}, \dots, {\vec{к}}_{р}) |}^{2}}}

$\vert r\rangle = {1\over{\sqrt{r! \int {{d^3 \vec{k}_1}\over{(2\pi)^3}} \dots \int {{d^3 \vec{k}_r}\over{(2\pi)^3}} \left| F(\vec{k}_1, \dots, \vec{k}_r)\right|^2}}}$

\cdot \int \frac{г^{3} {\vec{к}}_{1}}{(2 π)^{3}} \dots \int \frac{г^{3} {\vec{к}}_{р}}{(2 π)^{3}} Ф ({\vec{к}}_{1}, \dots, {\vec{к}}_{р}) а^{†} ({\vec{к}}_{1}) \dots а^{†} ({\vec{к}}_{р}) | 0 ⟩ .

$\cdot \int {{d^3 \vec{k}_1}\over{(2\pi)^3}} \dots \int {{d^3 \vec{k}_r}\over{(2\pi)^3}} F(\vec{k}_1, \dots, \vec{k}_r)\, a^\dagger (\vec{k}_1) \dots a^\dagger(\vec{k}_r) \,\vert0\rangle.$ Мой вопрос, должен

| r ⟩

$\vert r\rangle$ обязательно удовлетворять

⟨ r | r ⟩ = 1

$\langle r\, \vert \,r \rangle = 1$ ?

смягченный

Если возникает вопрос: «Нужно ли включать коэффициент нормализации?» ответ - нет, не обязательно.

Феникс87

Нет, если вы определяете ожидаемые значения для вектора

| r ⟩

$|r\rangle$ как

EXP [O] := \frac{⟨ r | O | r ⟩}{⟨ r | r ⟩}

$\operatorname{EXP}[O] := \frac{\langle r|O|r\rangle}{\langle r|r\rangle}$ .

Ответы (1)

Гильбертово пространство, удовлетворяет ли |r⟩|r⟩|r\rangle ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Если возникает вопрос: «Нужно ли включать коэффициент нормализации?» ответ - нет, не обязательно.
Нет, если вы определяете ожидаемые значения для вектора $|r\rangle$ как $\operatorname{EXP}[O] := \frac{\langle r|O|r\rangle}{\langle r|r\rangle}$ .

Сяодун Ци · Answer 1

Короткий ответ: «Нет, условие нормализации не всегда необходимо». Я думаю, что это действительно зависит от того, как вы используете это условие нормализации. Вы всегда можете нормализовать состояние до 1, как вы правильно сказали. Но это условие может быть произвольно выбрано для различных целей. Например, когерентное состояние , $|\alpha\rangle$ , удовлетворяет $\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$ и $⟨\alpha|\alpha⟩=e^{|\alpha|^2-\alpha^2}$ , что называется сверхполным -базисным состоянием. Это определение полезно при рассмотрении лазерного поля с неопределенным числом фотонов. $\alpha$ является мерой статистических свойств фотона.

Отвечает ли это на ваш вопрос?

Гильбертово пространство, удовлетворяет ли |r⟩|r⟩|r\rangle ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Алекс

смягченный

Феникс87

Ответы (1)

Сяодун Ци

Проблема нормализации с волновой функцией водорода

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Единицы дельта-функции Дирака в квантовой механике

Как доказать Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩\mathrm{Tr}[| \alpha\rangle\langle\alpha|\шляпа{A}]=\langle\alpha|\шляпа{A}|\alpha\rangle

Норма квантового состояния в трех измерениях