Почему мы используем пространство L2L2L_2 в QM?

Здесь мы будем предполагать, что ОП не ставит под сомнение фундаментальные физические принципы/постулаты/аксиомы квантовой механики , такие как, например, необходимость иметь гильбертово пространство$H$в первую очередь и т. д.; и что ОП только размышляет о роли$L^2$-spaces (в отличие от, например,$L^1$- пробелы).

Рассмотрим для конкретности и простоты трехмерное позиционное пространство$\mathbb{R}^3$. Один использует$L^2$-Космос$H=L^2(\mathbb{R}^3)$как гильбертово пространство по разным причинам:

1. Иметь четко определенную норму

   $$\tag{1} ||\psi||_p~:=~\left(\int d^3x ~ |\psi(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}}, \qquad p~=~2.$$ [Норма (1) действительно работает для любого$L^p$-Космос $L^p(\mathbb{R}^3)$с$p\geq 1$.]

2. Чтобы иметь четко определенный внутренний продукт / полуторалинейную форму,

   $$\tag{2} \langle \phi, \psi\rangle ~:=~\int d^3x ~ \phi^*(x)\psi(x).$$ В частности, подынтегральная функция$\phi^*\psi$должен быть интегрируемым , т. е. i) измеримым по Лебегу , и ii) подынтегральная функция с абсолютным значением должна иметь конечный интеграл: $$\tag{3} \int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~<~\infty.$$ Доказательство уравнения (3): обратите внимание на неравенство $$\tag{4} (|\phi(x)|-|\psi(x)|)^2 \geq 0\qquad \Leftrightarrow\qquad 2|\phi(x)^*\psi(x)| \leq |\phi(x)|^2+|\psi(x)|^2,$$ так что подынтегральная функция$\phi^*\psi$в скалярном произведении (2) становится интегрируемым $$\tag{5} 2\int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~\stackrel{(1,4)}{\leq}~ ||\phi||^2_2+||\psi||^2_2~<~\infty,$$ потому что мы требуем этого$\phi$и$\psi$интегрируемы с квадратом , т. е. что$\phi,\psi\in L^2(\mathbb{R}^3)$. Отметим, в частности, что уравнение (3) в общем случае не выполняется для$\phi,\psi\in L^p(\mathbb{R}^3)$с$p \neq 2$.

3. Чтобы гарантировать, что нормированное векторное пространство$H$завершено . _ См. также этот ответ Phys.SE. [Это на самом деле работает для любого$L^p$-Космос$L^p(\mathbb{R}^3)$с$p\geq 1$.]

4. Чтобы убедиться, например, что набор$C^{\infty}_c(\mathbb{R}^3)$бесконечно много раз дифференцируемых функций с компактным носителем включены в пространство$H$. [Это на самом деле работает для любого$L^p$-Космос$L^p(\mathbb{R}^3)$с$p\geq 1$.]

5. Обратите внимание, что все остальные$L^p$-пробелы $L^p(\mathbb{R}^3)$с$p\neq 2$не являются гильбертовыми пространствами (хотя и являются банаховыми). Это связано с тем, что двойной $L^p$-пространство$L^p(\mathbb{R}^3)^*\cong L^q(\mathbb{R}^3)$куда$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Отсюда$L^p$-пространство самодвойственно только тогда, когда$p=2$. Самодуальность подразумевает, что существует изоморфизм между кетами и бюстгальтерами.

6. Верно, что другие гильбертовы пространства (смоделированные на основе позиционного пространства$\mathbb{R}^3$) существуют, но обычно они полагаются на дополнительную структуру. (Например, можно использовать другую меру интегрирования$d\mu$чем мера Лебега$d^3x$.)

В заключение,$L^2$-Космос$H=L^2(\mathbb{R}^3)$ — самый простой и естественный/канонический выбор.

Традиционной обстановкой для квантовой механики является гильбертово пространство. наблюдаемый$X$с непрерывным вещественным спектром (например, компонент положения или импульса) имеет представление, в котором оно диагонально, и по некоторой версии спектральной теоремы гильбертово пространство автоматически изоморфно пространству$L^2$функции$\psi(x,s)$(куда$s$обозначает квантовые числа наблюдаемых, не зависящие от$X$но коммутирует с ним) такой, что$X$представляется как умножение на$x$.

Таким образом$L^2$структура не навязывается квантовой механике произвольно, а выводится математически из существования наблюдаемых с непрерывным реальным спектром.

В 1925 году, на заре квантовой механики, Гейзенберг придумал пространство векторов с бесконечным числом компонент, а Шредингер придумал пространство волновых функций. В 1932 г. фон Нейман (доказавший спектральную теорему) показал, что две формы КМ (матричная механика и волновая механика) были как раз случаем различения (в используемом представлении) наблюдаемых с дискретным спектром (энергия и угловой момент ограниченного частица) или наблюдаемые с непрерывным спектром (положение или импульс связанной частицы).

Между этими представлениями нет реальной разницы; различается только набор диагональных операторов в представлении. Поэтому они дают полностью эквивалентные результаты, но от задачи зависит, какая постановка облегчает доступ к вычислениям. Подход Шредингера обычно предпочитают в обычной квантовой механике, в то время как подход Гейзенберга в основном используется в квантовой теории поля (поскольку подход гармонического осциллятора легче обобщается на квантовые поля).

Во-первых, позвольте мне подчеркнуть, что собственные состояния положения и импульса не принадлежат$L^2$. Более того, каноническое состояние ЛПС не имеет нормы гильбертова пространства.

Фундаментальный ответ на ваш вопрос закодирован в базовой структуре фазового пространства. В формулировке квантовой механики в фазовом пространстве состояние системы задается функцией$F(p,q;t)$из которых требуется только нормализация; ничего не сказано об интеграле от его квадрата (или любом другом правильно определенном скалярном произведении на себя). Нормировку можно понимать в физических терминах (вероятности) или математически, используя отношение единичного элемента$\langle 1 \rangle = 1$.

Средние значения динамических величин получаются как произведение динамических функций фазового пространства$b(p,q;t)$и государства$F(p,q;t)$. Это в своего рода банаховом пространстве с динамическими функциями, играющими роль «бюстгальтеров», и состояниями в роли «кетов». Фактически среднее значение фазового пространства можно переписать как$\langle \langle b(p,q;t) | F(p,q;t) \rangle \rangle$.

Гильбертово пространство и$L^2$структура может быть получена из основного фазового пространства путем введения разложения состояния$F(p,q;t)$в комплекснозначных амплитудах$\Psi(q;t)$.

Обратите внимание, что фазовая структура является более общей, чем гильбертова и$L^2$пространств и учитывает смешанные квантовые состояния, не описываемые никакими$\Psi(q;t)$.