Нормализация поля

Всякий раз, когда мы изучаем свободные поля, решения этих полей (или частиц, как вам удобнее) всегда задаются плоскими волнами. Дисперсионное соотношение$\omega=\omega(k)$будет, конечно, зависеть от типа вашей системы (но давайте проигнорируем это на данный момент).

На самом деле я собираюсь смотреть на все это нерелятивистски (не то чтобы это было необходимо).

Если мы хотим решить наше уравнение (позвольте мне обозначить уравнение оператором$L$):

$$L\psi(\vec{r},t)=0,$$ куда $\psi(\vec{r},t)$является квантовым полем и $L$является своего рода волновым уравнением для свободного поля. Тогда мы можем решить приведенное выше уравнение, заполнив разложение Фурье свободного поля: $$\psi(\vec{r},t)=\sum_\vec{k}\psi(\vec{k})\exp\left(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega(\vec{k})t)\right),$$ с $\psi(\vec{k})$различные коэффициенты Фурье.

Поскольку мы хотим, чтобы наша квантово-механическая волновая функция была нормализована (что проще для теории возмущений), мы используем нормировку следующим образом:

$$1=\int\text{d}^3\vec{r}\left(\psi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)\right).$$ Если мы посмотрим на свободное пространство (то есть бесконечный вакуум), плоские волны ненормируемы. Что, конечно, проблема.

Чтобы иметь возможность нормировать плоскую волну, мы ограничиваем нашу систему коробкой с конечным объемом$V$которую мы принимаем за бесконечность в конце вычислений (или обычно за единицу, поскольку$V$имеет тенденцию выпадать везде). Этот ящик выбран так, чтобы он был квадратным и имел сторону$L$. Теперь просто наложить коробку не получится, конечно нужны граничные условия. Чтобы сохранить импульс, мы накладываем на этот ящик периодические граничные условия

$$\psi(x+L,y,z,t)=\psi(x,y,z,t),$$ $$\psi(x,y+L,z,t)=\psi(x,y,z,t),$$ $$\psi(x,y,z+L,t)=\psi(x,y,z,t),$$ что приводит к квантованию по импульсам.

С помощью этой квадратной нормализации мы можем нормализовать волновую функцию и продолжить наши вычисления. Теперь мой вопрос заключается в следующем:

Вопросы:

1. Почему мы всегда предполагаем квадратную рамку при наложении нормализации по рамке?
2. Дает ли это те же результаты, что и прямоугольный ящик, у которого разные стороны$L_1$,$L_2$а также$L_3$не равны?
3. Или мы навязываем это всем сторонам$L_1$,$L_2$а также$L_3$равны ради однородности и изотропии свободного пространства?

Примечание. Давайте для простоты будем придерживаться декартовых координат . То, что коробка может стать сферой в сферических координатах и ​​цилиндром в цилиндрических координатах, мне ясно.