Собственное состояние дельта-функции для ненулевого потенциала

Рассмотрите потенциал$V(x)=\frac{2}{x^2}$и разреши$\frac{\hbar^2}{2m}=1$для удобства. Теперь рассмотрим функцию$\psi(x)=\delta(x)$. Согласно задаче 1.45(a) Гриффитса (книга по электродинамике),

$$x\delta'(x)=-\delta(x)\tag{1}.$$ Я не уверен, смогу ли я это сделать, но если я напишу

$$\delta'(x)=-\frac{\delta(x)}{x},\tag{2}$$

$$\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=-\frac{d}{dx}\left[\frac{\delta(x)}{x}\right]=\frac{2\delta(x)}{x^2}.\tag{3}$$

Уравнение Шредингера теперь выглядит как

$$\begin{align} &-\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E \psi(x)\tag{4}\\ &-\frac{2\delta(x)}{x^2}+\frac{2}{x^2}\delta(x)=0 \delta(x).\tag{5} \end{align}$$

Так это выглядит$\delta(x)$является собственным состоянием с нулевым собственным значением. Но это противоречит моей интуиции и, вероятно, неверно, но я не уверен, в чем заключается ошибка. Это производная дельта-функции? Может ли энергия (собственное значение гамильтониана) равняться нулю? Потенциал максимален при$0$, так как же вероятность может быть максимальной при$0$?