Почему волновая функция не равна 0 на пике дельта-потенциала Дирака, но равна 0 на границах бесконечной квадратной ямы?

Имейте в виду, что дельта-функция Дирака на самом деле не является функцией. Обычно его представляют студентам-физикам как «бесконечный всплеск», так что если$f(x)=\delta(x)$затем$f(0)=\infty$. Это не очень строго и приводит к путанице, подобной той, с которой вы столкнулись сейчас.

Вместо этого рассмотрите дельта-функцию Дирака как предел функции, которая имеет всплеск конечной высоты и ширины в$x=0$поскольку мы заставляем шип становиться выше и тоньше, в то же время требуя, чтобы площадь под шипом была постоянной. Тогда вы увидите, что всплеск — это только часть потенциала; это не граничное условие.

Помните, причина, по которой нам не нужна ненулевая волновая функция в области бесконечного потенциала прямоугольной ямы, заключается в том, что это не бесконечно малая область с бесконечным потенциалом. Это не относится к указанному выше пределу, так как потенциал будет приближаться к бесконечности только в одной точке, поэтому у нас нет проблем с тем, чтобы не устанавливать$\psi(0)=0$где находится центр дельта-функции Дирака.

Что касается предложенного вами решения, если бы вы решили остальную часть проблемы, вы бы нашли$A=B=C=0$, так что единственный способ$\psi(0)=0$это если у вас вообще нет частицы.

Физические волновые функции должны иметь конечную энергию, но это не всегда так.$V(x) = \infty \Rightarrow \psi(x) =0$

Для бесконечно квадратного потенциала, если$\psi$отличен от нуля вне ямы, то$\int \psi^* H\psi$будет бесконечно.

Для$\delta$потенциала (или кулоновского потенциала, если уж на то пошло), существуют волновые функции$\psi$с$\psi(0) \neq 0$и$\int \psi^* H \psi < \infty$.

Это потому что$\int {\rm{d}} x \psi^* (x) \delta(x) \psi(x) = |\psi(0)|^2$.