Теоретико-струнная значимость расширенной КТП

Следует отметить, что расширенная КТП еще не до конца формализована. (« TCFT » только внешне конформен, фактически он аксиоматизирует топологические цепочки. Насколько мне известно, дискуссия Мура и Сигала касается 2d TFT.)

Хотя это еще не полностью формализовано, есть несколько результатов, которые уже очень близки. Для рациональной 2d CFT формалимы FRS и связанные с ними конструкции, вероятно, идут дальше всего: они дают конструкции открыто-замкнутых рациональных CFT в терминах «конструкций суммы состояний», которые полностью аналогичны конструкциям для 2d расширенных TFT, в частности, полностью аналогичны Fukuma. -Хосоно-Каваи строительство. В обоих случаях интервалу присваивается алгебра состояний открытой струны, из которой индуцируется остальная часть структуры. Принципиальное отличие состоит в том, что для ТПФ эта алгебра является обычной алгеброй (хотя и$A_\infty$), в то время как для CFT в формулировке FRS это объект алгебры, внутренний по отношению к модульной тензорной категории представлений алгебры вершинных операторов, который описывает CFT, подлежащий локальному описанию.

Отсюда следует следующее использование расширенной КТП для теории струн:

1. уточнение VOA до «полной CFT» в смысле полного представления 1-категории конформного кобордизма как раз и является решением ограничений сшивания . Это включает в себя модулярную инвариантность, а также все его аналоги более высокого рода. Это уже шаг, не всегда правильно сделанный в физической литературе. В статьях FRS вы найдете примеры «модульных инвариантных КТП», которым соответствует одна, ни одна или несколько полных КТП.

2. дальнейшее уточнение до расширенного представления конформных кобордизмов (в той степени, в которой оно было формализовано) заботится о том, чтобы учесть также все возможные граничные условия, следовательно, все возможные конфигурации D-браны.

Современный (пере) взгляд на состояние искусства таких «расширенных» 2d CFT находится в

Лян Кун, Конформная теория поля и новая геометрия .

Связанные аспекты находятся в

Стефан Штольц, Питер Тайхнер, Суперсимметричные теории поля и обобщенные когомологии

Там нетопологическая КТП явно рассматривается как представление кобордизма, хотя и не полностью расширенное.

Структуры, которые, как ожидается, в конечном итоге послужат ингредиентами для полностью расширенной КТП, обсуждались в

Крис Дуглас, Андре Энрикес, Топологические модулярные формы и конформные сети .

Они обсуждают 3-категорию конформных данных, такую, что 3d расширенная ТКТП, индуцированная полностью дуализируемыми объектами , голографически двойственна данной 2d КТП.

Андре недавно рассказывал о том, как более явно получить расширенный CFT из этих данных. Смотрите видео его выступления на недавнем семинаре « Математические основы квантовой теории поля» .

Во-первых, существует два вида расширенных ТПТ: открытые-закрытые ТПТ (как в работах Мура-Сигала и Костелло ) и ТПТ более высокой категории (как в статье Лурье ). Они в чем-то связаны, но это не одно и то же. На самом деле формулировка «открыто-закрыто» возникла в теории струн.

Позволять$Z_{CFT}$быть CFT с правильным центральным зарядом. Тогда функция распределения замкнутой строки примерно равна

$$Z_{closed}=\sum_{g=0}^\infty g_s^{2g-2}\int_{\Sigma\in\mathcal{M}_g} Z_{CFT}(\Sigma),$$ куда $\mathcal{M}_g$пространство модулей замкнутых римановых поверхностей рода $g$.

Открыто-закрытые CFT используются, когда вы хотите вычислить функцию распределения открытых строк, где строки заканчиваются на D-бране.$\Lambda$(возможно несколько D-бран). Тогда функция разбиения открытой строки

$$Z_{open}=\sum_{g,h}g_s^{2g-2+h}\int_{\Sigma\in\mathcal{N}_{g,h}}Z_{CFT}(\Sigma, \Lambda),$$ куда $\mathcal{N}_{g,h}$пространство модулей римановых поверхностей с $h$граничные компоненты и $Z_{CFT}$функция разбиения CFT на $\Sigma$с этикетками $\Lambda$присоединенный к каждому компоненту границы.

Это, конечно, распространяется на случай вставок на границе и внутри.

Что касается расширений TFT, вы всегда можете думать о закрытой TFT (CFT) как о открыто-закрытой TFT (CFT) с пустым набором D-бран. Вопрос, конечно, в том, каковы возможные нетривиальные категории D-бран. Если замкнутая алгебра ТПТ полупроста, Мур и Сигал классифицировали возможные категории граничных условий (максимальная категория граничных условий — это категория конечно порожденных модулей над замкнутой алгеброй).

Не совсем уверен, что спрашивают, но, возможно, некоторые случайные замечания о топологической строке могут помочь.

На самом деле проще думать об определении D-бран и амплитуд дерева открытых струн. В формулировке Костелло аксиомы TCFT означают, что эти данные являются типом категории A_oo Калаби-Яу. Лурье обобщил это и показал, что это действительно (оо, 1) категория. (Я не помню, должна ли категория быть стабильной — определенно, большинство категорий, с которыми приходится сталкиваться в теории струн, стабильны [что подразумевает, что гомотопическая категория триангулирована]).

Что интересно, из этих данных можно получить пространство состояний замкнутой строки. (Вы можете увидеть диаграммы для этого в моей статье «Деформации и D-браны», но идея устарела.) С точки зрения математики, циклические когомологии категории D-бран — это пространство состояний замкнутой струны. Предполагается (и в некоторых случаях доказано), что аналог спектральной последовательности Ходжа-де Рама вырождается, что почти дает вам структуру Ходжа. Задания расщепления должно быть достаточно, чтобы получить все пертурбативные амплитуды открытых и закрытых струн. Итак, в некотором смысле «расширенная» TCFT — это пертурбативная топологическая теория струн.