Гамильтониан гармонического осциллятора со спиновым членом

У нас есть обычный гамильтониан для одномерного гармонического осциллятора: ЧАС 0 ^ "=" п 2 ^ 2 м + 1 2 м ю Икс 2 ^

Теперь к гамильтониану добавлен новый член, ЧАС ^ "=" ЧАС 0 ^ + мю Б С г ^

Система имеет спиновую степень свободы с с "=" 1 2

Каковы новые собственные состояния гамильтониана и каковы собственные значения энергии? Мы обозначали стационарные состояния как | н , с г ⟩ и собственные значения без спина, как обычно Е "=" час ю ( н + 1 / 2 )

Может ли кто-нибудь помочь мне с этим вопросом? Я предполагаю, что собственные состояния не меняются, и тогда легко найти собственные значения, но я не уверен, правильно ли это (или почему это будет правильно).

Привет, если под собственными состояниями вы подразумеваете состояния | н , с г ⟩ (вы можете набрать \rangle, чтобы создать более красивый кет), тогда вы правы. Просто попробуйте применить свой гамильтониан к этим состояниям (и вспомните определение собственного состояния).
Спасибо, разобрался с кетой! Так почему же собственные состояния не меняются при добавлении члена? Думаю, это то, о чем я спотыкаюсь.
Хорошо, я напишу ответ.

Ответы (2)

Вот точный способ определения собственных векторов полного гамильтониана. Вы, вероятно, найдете два сообщения physics.SE, на которые я ссылаюсь в конце, полезными для понимания этого материала (который в основном сводится к пониманию тензорных произведений):

Позволять ЧАС 0 обозначают гармонический осциллятор в гильбертовом пространстве и ЧАС 1 / 2 обозначают спиновое гильбертово пространство, то полное гильбертово пространство системы есть их тензорное произведение ЧАС "=" ЧАС 0 ⊗ ЧАС 1 / 2 . Обозначение, которое вы здесь используете, на самом деле является сокращением для определения полного гамильтониана как оператора на ЧАС

ЧАС ^ "=" ЧАС ^ 0 ⊗ я 1 / 2 + мю Б я 0 ⊗ С ^ г
где я 0 - тождественный оператор в гильбертовом пространстве гармонического осциллятора, а я 1 / 2 является тождественным оператором в спиновом гильбертовом пространстве. Если мы определим
ЧАС ^ 0 | н ⟩ "=" Е н | н ⟩ , С ^ г | с г ⟩ "=" ℏ с г | с г ⟩
затем государства | н ⟩ стать основой для ЧАС 0 состоящий из собственных векторов ЧАС 0 и государства | с г ⟩ стать основой для ЧАС 1 / 2 состоящий из собственных векторов С ^ г . Если мы определим
| н , с г ⟩ "=" | н ⟩ ⊗ | с г ⟩
Тогда стандартный результат о тензорных произведениях гильбертовых пространств состоит в том, что состояния | н , с г ⟩ образуют базис для полного гильбертова пространства ЧАС "=" ЧАС 0 ⊗ ЧАС 1 / 2 системы. Более того, с помощью этих определений можно показать (что вы, вероятно, уже сделали по комментариям выше), что
ЧАС ^ | н , с г ⟩ "=" ( Е н + ℏ мю Б с г ) | н , с г ⟩
Так что состояния являются базой для полного гильбертова пространства ЧАС состоящий из собственных векторов ЧАС . Таким образом, мы определили, что «стационарные состояния», которые вы записали изначально, при правильной математической интерпретации могут быть доказаны как собственные состояния полного гамильтониана.

Другие полезные посты:

  1. Как решить «точечный» продукт для спиновых матриц

  2. Должно ли быть очевидно, что независимые квантовые состояния составлены из тензорного произведения?

наряду со всем, что вы найдете о тензорных продуктах.

Ух ты, сколько всего может произойти, пока ты пишешь ответ.)
Ага. Если бы я увидел ваш комментарий раньше, я бы сказал вам, что почти закончил с ответом. В любом случае, ваша презентация может быть более привлекательной для людей, которые съеживаются при слове «тензорный продукт».
@joshphysics, вы немного перепутали операторы идентификации. Да, тензорное произведение — это более математический способ. Тем не менее, я думаю, что это может немного помешать физике. С моей точки зрения, вы сначала выбираете систему, затем определяете полный набор коммутирующих наблюдаемых, а затем связываете с ней гильбертово пространство. А потом оказывается, что это тензорное произведение.
@PeterKravchuk Спасибо; Я забыл, что поменял запись. Я всегда обнаруживал, что тензорные продукты улучшают мое физическое понимание. В частности, я думаю, что они помогают понять, почему размерность полного гильбертова пространства увеличивается (в некотором смысле как произведение измерений) именно так, как это происходит. Вы, безусловно, делаете хорошие замечания, и я надеюсь, что люди прочитают оба ответа.

Во-первых, состояния бесспинового осциллятора | н ⟩ так что:

ЧАС 0 | н ⟩ "=" Е н | н ⟩ "=" ℏ ю ( н + 1 / 2 ) | н ⟩
Затем вы вводите вращение С г , так что теперь у вас другое пространство состояний — у вас больше степеней свободы, вы должны указать не только энергию, но и спин. Вы можете выбрать основу в этом пространстве | н , с г ⟩ такой, что
ЧАС 0 | н , с г ⟩ "=" Е н | н , с г ⟩ С г | н , с г ⟩ "=" ℏ с г | н , с г ⟩
Теперь вас интересуют собственные состояния оператора ЧАС "=" ЧАС 0 + мю Б С г . Давайте просто попробуем действовать с ним на нашей основе:
ЧАС | н , с г ⟩ "=" ( ЧАС 0 + мю Б С г ) | н , с г ⟩ "=" ЧАС 0 | н , с г ⟩ + мю Б С г | н , с г ⟩ "=" "=" Е н | н , с г ⟩ + ℏ мю Б с г | н , с г ⟩ "=" ( Е н + ℏ мю Б с г ) | н , с г ⟩
Так что получается, что | н , с г ⟩ является собственным состоянием ЧАС с собственным значением Е н + ℏ мю Б с г . Поскольку эти состояния образуют базис, других независимых собственных состояний нет.

Гамильтониан гармонического осциллятора со спиновым членом
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v