О конусах Дирака

Это красивое изображение конусов Дирака (из этой статьи ) в ( Е , к → graph) будет введением в несколько вопросов из области топологических изоляторов.

1) Конус Дирака появляется только на поверхности?

2) Важна ли форма (конус)?

3) Конус Дирака не имеет зазоров, поэтому он стабилен только благодаря защите симметрии?

4) Предположим, что конус Дирака открывается, затем закрывается, а затем снова открывается. В открытой ситуации существует энергетическая щель, поэтому возможна нетривиальная топология. Так можно ли изменить топологию в процессе open->close->open?

Я надеюсь, что кто-то предоставит более подробную информацию, но позвольте мне дать несколько быстрых ответов. 1) Да, так как топологические изоляторы (ТИ) по определению имеют разрывы в основной массе. Существование бесщелевых граничных мод можно эвристически аргументировать следующим образом: фазовый переход между разными ТИ может произойти только при закрытии объемного зазора. Если поставить два разных TI рядом друг с другом, разрыв должен закрыться на границе между ними, чтобы мог быть переход.
2) Зависит от того, по отношению к чему это должно быть важно. Что касается стабильности краевых мод, то это не важно. Однако форма будет важна, например, для вопросов о детальной динамике. Если принять во внимание более высокие вклады энергии/импульса в граничную низкоэнергетическую эффективную теорию, то уравнение Дирака вообще получит нерелятивистские поправки. Это тоже видно из вашей картинки. См., например , arxiv.org/abs/0908.1418 . уравнение (4) содержат первую поправку к дисперсии и, следовательно, к изменению формы конуса Дирака.
3) Да, бесщельность граничной моды защищена симметрией (как и у всех ТИ). 4) Я не уверен, что понимаю этот вопрос.

Ответы (1)

Предисловие: Как заметил Хейдар в соответствующих комментариях, мои ответы не были посвящены ситуации с топологическим изолятором. Постараюсь исправиться, в некоторых правках напишу [-> в скобках <-] и в answer-bis , но свои ответы о топологических сверхпроводниках оставлю, так как они могут оказаться полезными.

Короткие ответы, пожалуйста, разделите свои вопросы, если вы хотите получить более подробный ответ:

1) Конусы Дирака на поверхности: некоторые возникающие конусы Дирака появляются в основной части п -волновой киральный сверхпроводник, подробности см. в книге Воловика, доступной бесплатно на его домашней странице в Университете Аалто. Меня не устраивает понятие ленточной структуры на поверхности . Я понятия не имею, что это значит... Это просто закрытие разрыва, которое происходит для меня на поверхности/крае. [-> См. комментарии Хейдара для умного обсуждения <-].

1-бис: ситуация с топологическим изолятором. Случай топологического изолятора обсуждать легче, поскольку объемный изолятор по определению не имеет замыкания зазора. Тогда линейное замыкание по Дираку может происходить только на краю. См. также пункт 4 ниже и комментарии Хейдара о модели Джекива-Ребби ниже.

2) Форма конуса. Форма сама по себе не важна. Что вам нужно, так это линейное дисперсионное соотношение с точкой пересечения. (Примечание: без пересечения дисперсия соответствует фермионным частицам Вейля.) Структура конуса является простейшей структурой из подобных этой.

3) Топология с защитой симметрии: я не знаю полного ответа на этот вопрос. Я бы сказал нет , не для возникающих конусов Дирака в сверхпроводящей/сверхтекучей фазе: там конус также может быть топологически защищен. Но топология сильно зависит от симметрии квадратичных гамильтонианов, особенно трех дискретных гамильтонианов частица-дырка. п такой, что { п , ЧАС } "=" 0 с п 2 "=" ± 1 , обращение времени Т такой, что [ Т , ЧАС ] "=" 0 с Т 2 "=" ± 1 (оба п и Т имеют антиунитарное представительство и ЧАС является представлением гамильтониана), а киральный С ≡ п Т те (существует ситуация, когда С присутствует без ни п ни Т ). Это все еще беспокоит меня. Я думаю, что это, по сути, вопрос соглашения, хотите ли вы называть эти дискретные симметрии своего рода топологией (что бы это ни значило) или нет. Топология для меня означает, что у вас есть номер Черна ν ≠ 0 , и вы сохраните его до тех пор, пока не измените одну из дискретных симметрий, о которых я упоминал. Но некоторые числа Черна тоже защищены симметрией, так что распутать все эти понятия в конце — каша.

3-бис: ситуация с топологическим изолятором. Для топологического изолятора опять же ситуация проще, поскольку топологическая классификация кристально ясна: топологические характеристики обеспечиваются симметрией. Эти симметрии — всего лишь три дискретные симметрии, которые я обсуждал в пункте 3.

4) Открытие <--> закрытие щели Я думаю, что ответ на этот вопрос давно дан Волковым и Панкратовым, Двумерные безмассовые электроны в перевернутом контакте, ЖЭТФ, 42 178 (1985) (статья бесплатно) или я неправильно понял. Ответ положительный, и вы получаете инстантонное решение на границе, как в случае Джекива-Ребби. Волков и Панкратов обсуждают дисперсионное соотношение Дирака, а не релятивистскую модель.

1) Поскольку вопрос был в контексте топологических изоляторов (ТИ), у вас не может быть бесщелевых мод в массе по определению. Если да, то вы не находитесь в фазе TI. Легко получить конус Дирака в большом количестве. Запишите простую модель для TI, скажем, на physics.stackexchange.com/questions/3282/… . Низкоэнергетическая теория будет массивным уравнением Дирака в объеме. Когда масса равна нулю, а в объеме находится конус Дирака. Это точка фазового перехода и, следовательно, не фаза ТИ.
Структура полос на поверхности действительно имеет смысл. В упомянутой выше модели я предполагал трансляционную симметрию и, следовательно, отсутствие ребра и, следовательно, к "=" ( к Икс , к у ) является хорошим квантовым числом. Собственные значения ЧАС ( к ) являются объемной ленточной структурой. Теперь предположим, что есть ребро в Икс "=" 0 и Икс "=" л . Сейчас к Икс больше не является хорошим квантовым числом, но к у все еще. преобразование Фурье к Икс в реальный космос: ЧАС ( к Икс , к у ) → ЧАС е ( к у ) . Наш 2 × 2 матрица теперь превращается в 2 л × 2 л матрица зависит только от к у .
Собственные значения ЧАС е ( к у ) (будет 2 л из них параметризуется к у ) — это то, что вы можете назвать структурой краевой полосы (хотя она также содержит объемную часть). Там вы увидите сплошные полосы внутри множества полос с щелями. Найдя собственный вектор, соответствующий бесщелевым модам, мы обнаружим, что они локализованы на границах. В качестве альтернативы можно взять низкоэнергетическую эффективную теорию объема и сделать то же самое, решив дифференциальные уравнения, чтобы получить граничные моды (аналогично анализу Якива-Ребби). Их иногда называют фермионами Каплана в калибровочной теории решетки.
@Heidar Спасибо за ваши комментарии. Я попытался исправить соответственно. Скажите, пожалуйста, есть ли еще ошибки. Большое спасибо за обсуждение структуры объемной кромки.
@Oaoa: +1 за подробный ответ
@Heidar: Спасибо за все подробности и уточнения.
О конусах Дирака
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v