Простые модели, демонстрирующие топологические фазовые переходы

Я думаю, вам нужно определить, что вы подразумеваете под «топологическим состоянием материи», поскольку этот термин используется в нескольких неэквивалентных значениях. Например, торический код, который вы упомянули, представляет собой совершенно другую топологическую фазу, чем топологические изоляторы. На самом деле можно утверждать, что все топологические изоляторы (может быть, за исключением целочисленного квантового зала, класса А в общей классификации) являются лишь топологическими эффектами, а не истинными топологическими фазами, поскольку они защищены дискретными симметриями (обращение времени, частица-дырка или киральность). . Если эти симметрии явно или спонтанно нарушены, то система может превратиться в тривиальный изолятор.

Но одной из самых простых решетчатых моделей (намного проще, чем торический код, но и не такой богатой), которая мне известна, является следующая двухзонная модель (записанная в k-пространстве):

$H(\mathbf k) = \mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf{\sigma},$

с$\mathbf d(\mathbf k) = (\sin k_x, \sin k_y, m + \cos k_x + \cos k_y)$а также$\mathbf{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$матрицы Паули. Эта модель принадлежит к тому же топологическому классу, что и ИКЭХ, а это означает, что она не имеет симметрии обращения времени, частицы-дырки или киральной симметрии. Спектр определяется$E(\mathbf k) = \sqrt{\mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf d(\mathbf k)}$а модель классифицируется по первому номеру Черня

$C_1 = \frac 1{4\pi}\int_{T^2}d\mathbf k\;\hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y},$

куда$T^2$это тор (который является топологией зоны Бриллюэна) и$\hat{\mathbf d} = \frac{\mathbf d}{|\mathbf d|}$. Изменяя параметр$m$система может пройти через квантовую критическую точку, но это может произойти только в том случае, если объемная щель закрывается. Итак, решая уравнение$E(\mathbf k) = 0$за$m$, видно где есть фазовые переходы. Затем можно вычислить число Черна в промежутках между этими критическими точками и найти

$C_1 = 1$за$0 < m < 2$,$C_1 = -1$за$-2 < m < 0$а также$C_1 = 0$в противном случае.

Таким образом, есть три разных фазы, одна тривиальная и две нетривиальные. В нетривиальных фазах система имеет квантованный холловский отклик и защищенные киральные краевые состояния (что легко увидеть, разместив ребра вдоль одной оси и диагонализируя гамильтониан на компьютере).

Если принять континуальный предел, модель сводится к 2+1-мерному массивному гамильтониану Дирака, и я думаю, что те же самые выводы могут быть сделаны в этом континуальном пределе, но топология входит как аномалия четности.

Более подробную информацию можно найти здесь: http://arxiv.org/abs/0802.3537 (модель представлена ​​в разделе IIB).

Надеюсь, вы найдете это полезным.

Это очень хороший вопрос. Позвольте мне сначала дать немного предыстории.

Долгое время физики думали, что все различные фазы материи описываются нарушением симметрии . В результате все непрерывные фазовые переходы между этими фазами нарушения симметрии связаны с изменением симметрии.

Теперь мы знаем, что существует новый вид фаз материи за пределами нарушения симметрии — топологический порядок . Таким образом, мы должны иметь новые непрерывные фазовые переходы между этими топологически упорядоченными фазами. Эти новые непрерывные фазовые переходы не изменяют никакой симметрии (т. е. две фазы, связанные переходом, имеют одинаковую симметрию). Чтобы получить интуитивное представление об этих новых типах фазовых переходов, естественно спросить, какие простые модели демонстрируют топологические фазовые переходы?

Гейдар дал очень хорошую и простую модель. Здесь я перечислю некоторые исследовательские работы по этой теме (пожалуйста, не стесняйтесь добавлять, если вы знаете больше статей)

• Х.-Г. Вен и Ю.-С. Ву, физ. Преподобный Летт. 70, 1501 (1993).
• В. Чен, М.П.А. Фишер и Ю.-С. Ву, физ. Rev. B 48, 13749 (1993).

Две вышеупомянутые статьи описывают непрерывные фазовые переходы между FQH-FQH или FQH-Mott-insultor, индуцированные периодическими потенциалами.

• N. Read и D. Green, Phys. Ред. В 61, 10267 (2000).

В статье описывается непрерывный переход между сильными и слабыми p-/d-волновыми сверхпроводниками БКШ. Пример Гейдара похож на эту работу.

• Сяо-Ганг Вэнь, Phys. Преподобный Летт. 84, 3950 (2000). коврик/9908394.

В статье описываются непрерывные переходы между двухслойными состояниями FQH, вызванные межслойным туннелированием и/или связью.

• Майссам Баркешли, Сяо-Ганг Вэнь, Phys.Rev.Lett.105 216804 (2010).

В статье описывается непрерывный переход между абелевым состоянием FQH и неабелевым состоянием FQH, индуцированный энионной конденсацией.

Мне нравится знать больше примеров топологических фазовых переходов.

Так называемые лиотропные жидкие кристаллы демонстрируют несколько топологических переходов. При таких переходах изменяется топология реального пространства. Наиболее известным из них является переход в так называемую губчатую фазу. Но есть и более простые. Например, известно, что липидные везикулы трансформируются в цепочку бусинок (которые все еще топологически эквивалентны сфере), но затем отделяются друг от друга (что уже является топологическим изменением). Живые клетки часто отщепляют пузырьки, образованные частью мембраны. В этом процессе участвует топологический переход.

Будет гораздо лучше, если вы уточните, какие явления вы имеете в виду, так как под этим общим названием можно мыслить разные вещи.

Например, когда-то рассматривались переходы порядка 2,5 для объяснения моттовских переходов в некоторых материалах. Там поверхность Ферми претерпевает топологический фазовый переход

Насколько я понимаю, «квантовые фазы» или «фазы Берри-Панчаратнама» являются примерами «топологических фаз». См. Y Ben-Aryeh 2004 J. Opt. B: Квантовый полукласс. Опц. 6 R1, «Топологические фазы Берри и Панчаратнама атомных и оптических систем», http://arxiv.org/abs/quant-ph/0402003 .

При таком определении терминов простейшим примером топологической фазы является переход состояний при унитарном преобразовании в спин-1/2 для одной частицы. Это фаза Берри или Панчаратнам.

Рассмотрим частицу со спином 1/2, которая начинается со спина вверх (+z). Затем его вращение измеряется в направлениях x и y, а затем в направлении z. Если результаты этих измерений таковы, что его спин равен +x, +y, а затем +z, его возвращение к случаю +z будет с квантовой фазой$\pi/4$как я сейчас показываю:

Позволять$\sigma_x$,$\sigma_y$, а также$\sigma_z$— спиновые матрицы Паули. затем$(1+\sigma_x)/2$,$(1+\sigma_y)/2$, а также$(1+\sigma_z)/2$— проекционные операторы спина в направлениях +x, +y и +z. Оператор перехода частицы от спина +z к +x, затем к +y и обратно к +z в серии измерений является произведением проекционных операторов, которые можно упростить следующим образом:

$(1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2 = (e^{i\pi/4}/\sqrt{8})\;(1+\sigma_z)/2$.

Итак, если мы позволим$|+>$Если спин направлен вверх, то амплитуда частицы, проходящей через эту последовательность состояний, равна:$<+|\; (1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2\; |+> = e^{i\pi/4}/\sqrt{8}$.

The $\pi/4$является топологической фазой. $1/\sqrt{8}$представляет собой уменьшение амплитуды из-за прохождения измерений. Я набрал это по памяти, не исключено, что я ошибся в знаке. :(

Кстати, для спина-1/2 и спина-1 топологическая фаза задается половиной площади (в стерадианах), вырезанной в сфере Блоха последовательностью состояний. В приведенном выше примере вырезанная область составляет один октант. Это имеет площадь$(4\pi) /8 = \pi/2$, поэтому топологическая фаза$\pi/4$.

Топологические фазовые переходы, о которых вы спрашиваете, я предполагаю, что это распад электронной жидкости Ландау, где квантовые флуктуации сравнимы с тепловыми флуктуациями. На эту тему с тяжелыми металлами и квантовыми критическими точками имеется довольно обширный набор публикаций. Кубровик нашел параллели с AdS~CFT в таких системах.