О представлении группы Лоренца [закрыто]

Question

О представлении группы Лоренца [закрыто]

СлучайныйПреобразование Фурье

Я просматриваю заметки о QFT от Srednicki .

При описании фермионов он с самого начала вводит группу Лоренца и ее алгебру и доказывает, что она эквивалентна двум копиям $SU(2)$ , так что представление определяется двумя (половинными) целыми числами, скажем $n,n'$ (см. стр. 213-214). Он пишет такое представление, как $(2n+1,2n'+1)$ .

Например, некоторые важные представления $(1,1)$ : скаляр, $(2,1)$ : левосторонний спинор и так далее. Несколькими страницами позже (стр. 217) он пишет соотношение $2\otimes 2=1\oplus 3$ , что является обычным результатом сложения углового момента. Моя проблема в том, что через несколько страниц (стр. 219) он пишет следующее «теоретико-групповое отношение»

(2, 2) \otimes (2, 2) "=" (1, 1) \oplus (1, 3) \oplus (3, 1) \oplus (3, 3) .

$(2,2)\otimes (2,2)=(1,1)\oplus(1,3)\oplus(3,1)\oplus(3,3).$ Мне трудно понять эту связь.

На первый взгляд кажется, что мы должны добавить четыре спиновых полуимпульса, т. е.

(2, 2) \otimes (2, 2) "=" 2 \otimes 2 \otimes 2 \otimes 2.

$(2,2)\otimes(2,2)=2\otimes2\otimes2\otimes2.$ Если я выполню обычные шаги для построения такой суммы, я никак не смогу получить ожидаемый результат.

С другой стороны, если я напишу $(2,2)=1\oplus 3$ и «распространять $\oplus$ над $\otimes$ «Как если бы они были реальными произведениями и суммами, я получаю результат, данный Средненицким, но я чувствую, что в этом что-то не так. Может быть, я чувствую, что это неправильно только потому, что я что-то упускаю или чего не понимаю.

Если это «распределение $\oplus$ над $\otimes$ "правильный поступок, я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь объяснил, почему это так. Если это не правильно, то я был бы рад, если бы кто-нибудь сказал мне, как мне поступать с такими "теоретико-групповыми отношениями", или где можно найти литературу по этому вопросу.

Например, на странице 218 Средницкий пишет

(2, 1) \otimes (1, 2) \otimes (2, 2) "=" (1, 1) \oplus . . .

$(2,1)\otimes(1,2)\otimes(2,2)=(1,1)\oplus...$

Если мой подход правильный, то, как

(2, 1) \otimes (1, 2) "=" 1 \oplus 3 "=" (2, 2),

$(2,1)\otimes(1,2)=1\oplus3=(2,2),$ полный ответ

(2, 1) \otimes (1, 2) \otimes (2, 2) "=" (2, 2) \otimes (2, 2) "=" (1, 1) \oplus (1, 3) \oplus (3, 1) \oplus (3, 3) .

$(2,1)\otimes(1,2)\otimes(2,2)=(2,2)\otimes(2,2)=(1,1)\oplus(1,3)\oplus(3,1)\oplus(3,3).$ Это все?

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /149455/2451

СлучайныйПреобразование Фурье

Возможно, я должен добавить, что у меня нет проблем при работе с отдельными представлениями (если это имеет смысл): я понимаю, почему (1,1) является скалярным представлением, его свойства и так далее. Кроме того, я знаю, как тензорить представления (например,

(3, 2) = 4 \oplus 1

$(3,2)=4\oplus 1$ , где изоморфизм задается, например, коэффициентами Клебша — Гордана). Моя проблема заключается в работе с такими выражениями, как

(m_{1}, n_{1}) \otimes (m_{2}, n_{2}) \otimes . . . = (a, b) \oplus (c, d) \oplus . . .

$(m_1,n_1)\otimes(m_2,n_2)\otimes...=(a,b)\oplus(c,d)\oplus...$ ; Я чувствую, что есть много возможных результатов, связанных изоморфизмами (правильно ли это?).

любопытный разум

Ваша запись мне непонятна. Скалярная репутация должна быть

(0, 0)

$(0,0)$ , нет

(1, 1)

$(1,1)$ , так как это представление с нулевым спином . Почему существуют уравнения, в которых некоторые представители имеют две метки, например

(2, 1)

$(2,1)$ , а другой только один?! Наконец, каков ваш вопрос (помимо «Правильно ли это»)?

СлучайныйПреобразование Фурье

Я следую обозначениям Средненицкого, где представление записывается как

(2 n + 1, 2 n^{'} + 1)

$(2n+1,2n'+1)$ , поэтому скаляр (

n = 0, n^{'} = 0

$n=0, n'=0$ ) является

(1, 1)

$(1,1)$ . К тому же, как я понимаю,

(a, b) = a \otimes b

$(a,b)=a\otimes b$ (возможно, я должен написать

≅

$\cong$ вместо =, так как это изоморфизм, верно?. Так

(2, 1) = 2 \otimes 1

$(2,1)=2\otimes1$ и так далее (поэтому я иногда пишу

(a, b)

$(a,b)$ а иногда и отдельные номера. Наконец, мой вопрос касается того, как доказать соотношение, данное Средненицким, и как вычислить аналогичные выражения. Чем все за ваше время :)

Qмеханик

Этот вопрос (v2) кажется архетипом математической задачи, встречающейся во многих областях физики, например КХД, и которую сообщество постоянно хочет не переносить в Math.SE, ср. этот мета-пост .

Qмеханик

Однако рецензенты голосуют за перенос его на Math.SE. Я закрываю этот вопрос как вопрос, похожий на домашнее задание, отчасти для предотвращения его переноса в Math.SE.

Ответы (1)

О представлении группы Лоренца [закрыто]

Связанный: физика.stackexchange.com/q /149455/2451
Возможно, я должен добавить, что у меня нет проблем при работе с отдельными представлениями (если это имеет смысл): я понимаю, почему (1,1) является скалярным представлением, его свойства и так далее. Кроме того, я знаю, как тензорить представления (например, $(3,2)=4\oplus 1$ , где изоморфизм задается, например, коэффициентами Клебша — Гордана). Моя проблема заключается в работе с такими выражениями, как $(m_1,n_1)\otimes(m_2,n_2)\otimes...=(a,b)\oplus(c,d)\oplus...$ ; Я чувствую, что есть много возможных результатов, связанных изоморфизмами (правильно ли это?).
Ваша запись мне непонятна. Скалярная репутация должна быть $(0,0)$ , нет $(1,1)$ , так как это представление с нулевым спином . Почему существуют уравнения, в которых некоторые представители имеют две метки, например $(2,1)$ , а другой только один?! Наконец, каков ваш вопрос (помимо «Правильно ли это»)?
Я следую обозначениям Средненицкого, где представление записывается как $(2n+1,2n'+1)$ , поэтому скаляр ( $n=0, n'=0$ ) является $(1,1)$ . К тому же, как я понимаю, $(a,b)=a\otimes b$ (возможно, я должен написать $\cong$ вместо =, так как это изоморфизм, верно?. Так $(2,1)=2\otimes1$ и так далее (поэтому я иногда пишу $(a,b)$ а иногда и отдельные номера. Наконец, мой вопрос касается того, как доказать соотношение, данное Средненицким, и как вычислить аналогичные выражения. Чем все за ваше время :)
Этот вопрос (v2) кажется архетипом математической задачи, встречающейся во многих областях физики, например КХД, и которую сообщество постоянно хочет не переносить в Math.SE, ср. этот мета-пост .
Однако рецензенты голосуют за перенос его на Math.SE. Я закрываю этот вопрос как вопрос, похожий на домашнее задание, отчасти для предотвращения его переноса в Math.SE.

октонион · Answer 1

Есть тонкая разница между словами $(2,2)$ и $2\otimes 2$ . В последнем случае мы думаем, что оба повторения трансформируются под одним и тем же элементом группы. $SU(2)$ . В первом случае мы имеем в виду $(2,2)$ как преобразование по группе Лоренца, которая содержит две различные копии $SU(2)$ . Назовите одну копию $L$ копировать, а другой $R$ копировать. Тогда четыре базисных вектора $(2,2)$ являются $0_L 0_R, 0_L 1_R,\dots$ и т. д. Эти четыре базисных вектора не распадаются на $1\oplus 3$ так как я могу выбрать элементы группы Лоренца, которые вращают только одно из двух представлений.

Так что подумайте о $(2,2)\otimes(2,2) = (2\otimes 2,2\otimes 2),$ который имеет базисные векторы, такие как, например, $0_{L1} 1_{R1} \otimes 0_{L2} 1_{R2}$ , так что тогда я могу применить сложение угловых моментов между двумя Ls и Rs. Затем $(1\oplus 3,1\oplus 3)$ означает, что вы берете все базисные векторы $(1\oplus 3)_L$ и тензорное произведение со всеми базисными векторами $(1\oplus 3)_R$ . Так что раздает.

Итак, когда вы пишете $(2,1)\otimes (1,2)$ думай об этом как

(2, 1) \otimes (1, 2) "=" (2 \otimes 1, 1 \otimes 2) "=" (2, 2)

$(2,1)\otimes (1,2)=(2\otimes 1,1\otimes 2)= (2,2)$

Что ж, это было действительно полезно :) Поэтому при работе с большими выражениями, такими как $(1,2)\otimes(2,3)\otimes(1,3)$ , мы должны на самом деле добавить три импульса, верно? Я имею в виду, у нас есть $=(1\otimes2\otimes1,2\otimes3\otimes3)$ , и мы должны вычислить $1\otimes2\otimes1$ и так далее.

О представлении группы Лоренца [закрыто]

СлучайныйПреобразование Фурье

Qмеханик

СлучайныйПреобразование Фурье

любопытный разум

СлучайныйПреобразование Фурье

Qмеханик

Qмеханик

Ответы (1)

октонион

СлучайныйПреобразование Фурье

октонион

Это скаляр Лоренца? Как мне сказать?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Природа полей в КТП

Можно ли построить 4-вектор в специальной теории относительности, пространственной составляющей которого является электрическое поле E?

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

Квантование заряда Лоренца

Откуда взялся импульс Лоренца для спинора Дирака?

контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля при преобразовании Лоренца

Как бы я связал Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} с матрицей усиления Лоренца?

Доказательство лоренц-инвариантности лоренц-инвариантного элемента фазового пространства