Обозначение Дирака и представление столбца

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$Обратите внимание, что вы можете записать тензорное произведение в виде матрицы следующим образом:

где$A$это$m\times m$матрица и$B$это$n\times n$матрица. Обратите внимание, что полученная матрица представляет собой$nm\times nm$матрица. В случае двумерных векторов вы можете использовать аналогию и написать:

В общем случае вектор можно записать как суперпозицию этих базисных векторов:

В вашем случае некоторые из этих коэффициентов равны нулю, т.е.

Обратите внимание, что я использовал$\ket+ = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$и$\ket - = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$из-за вашей записи в вопросе, что несколько необычно.

Здесь беру$|0\rangle$и$|1\rangle$как ортонормированный базис для двумерного гильбертова пространства. Сейчас$|00\rangle ,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$ортогональны друг другу (возьмите внутренний продукт любых двух, он будет равен нулю, например.$\langle 00|01 \rangle= \langle0|0\rangle \langle 0|1\rangle =0$). Таким образом, любой вектор 4-мерного гильбертова пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих 4 векторов (базисных векторов), поскольку они ортогональны друг другу. То есть любой вектор в 4-мерном гильбертовом пространстве может быть задан как$|v\rangle = \sum_{i,j=0,1}\alpha_{ij}|ij\rangle$где$\alpha_{ij}$некоторые комплексные числа. Но это не означает, что каждый вектор должен иметь некоторый компонент вдоль каждого из четырех базисных векторов. Вот в чем дело в вашем примере, то есть$\alpha_{ij}$также может принимать 0 в качестве значений. В вашем примере$\alpha_{00}=\alpha_{10}=0$, вы всегда можете записать данный вектор как$0.|00\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|01\rangle +0.|10\rangle+\frac{i}{\sqrt{3}}|11\rangle$. Сейчас$0.|v\rangle$для некоторого вектора$|v\rangle$нулевой вектор и$|a\rangle+ |\phi\rangle = |a\rangle$для$|a\rangle$быть любым вектором и$|\phi\rangle$будучи нулевым вектором, поэтому вам не нужно писать их в своем выражении. Надеюсь, я ответил на ваш вопрос.
РЕДАКТИРОВАТЬ
Вы должны искать тензорный продукт и его свойства. Тем не менее можно понять тензорное произведение с точки зрения матриц-столбцов. Сказать$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$и$|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$взятие тензорного произведения$|0\rangle \otimes |1\rangle= |01\rangle= \begin{pmatrix} 1* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ 0* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}$
Аналогично это можно выяснить и для других терминов и вообще.