Как функция, представленная в скобках, становится вектором, состоящим только из коэффициентов?

Это небрежность обозначений, которая очень распространена в физике. На самом деле у вас есть

$$|f(x)\rangle = \sum_{n} c_n |\psi_n\rangle.$$ Если все $|\psi_n\rangle$линейно независимы, вы можете написать $$|f(x)\rangle \rightarrow \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{array}\right],$$ где стрелка означает, что вектор представлен вектором-столбцом, но они не совпадают. Это особенно верно, если $|\psi_n\rangle$не ортонормированы - когда они ортонормированы, скалярный продукт в векторном пространстве точно воспроизводится матричным умножением с сопряженным транспонированием матриц коэффициентов. То есть, если $$\begin{align} |\phi(x)\rangle &= \sum_n p_n|\psi_n\rangle \rightarrow \left[\begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ \vdots \end{array}\right] \Rightarrow\\ \langle \phi(x)|f(x)\rangle & = \sum_{m,n} p_m^* c_n \langle\psi_m|\psi_n\rangle \tag1\\ &=\sum_{m,n} p_m^* c_n \delta_{m,n} \\ &=\sum_{n} p_n^* c_n \\ &= \left[\begin{array}{ccc} p_1^* & p_2^* & \ldots \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{array}\right].\tag2 \end{align}$$

Причина, по которой говорят, что матричное представление и представление скобки/бракета не совсем одно и то же, заключается в том, что если у вас нет$\langle\psi_m|\psi_n\rangle= \delta_{m,n}$(ортонормированность), то умножение матриц в (2) не будет равно сумме в (1). Линейная независимость$|\psi_n\rangle$является необходимым и достаточным условием для всех$c_n$однозначно фиксируется$|f(x)\rangle$и$\left\{|\psi_n\rangle\right\}$, а ортонормированность подразумевает линейную независимость.