При определении, нормализован ли кет-вектор, должен ли кет быть комплексно-сопряженным?

Здесь$A$— это просто квантовое число (или набор квантовых чисел), обозначающее вектор, поэтому его не нужно сопрягать. Такие продукты, как$\langle A^*|A\rangle$случаются, например, при работе с когерентными состояниями, но в этом случае$|A\rangle$и$|A^*\rangle$это разные состояния.

Точный способ оценки продукта$\langle A|A\rangle$зависит от представления, с которым вы работаете. Например, если это два состояния в координатном представлении,$\varphi_n(x), \varphi_m(x)$, у нас есть

$$\langle n|m\rangle = \int dx \varphi_n^*(x)\varphi_m(x).$$ Если это векторы-столбцы, то $$|\uparrow\rangle =\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}, \langle\uparrow|=\begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix},$$ и $$\langle\uparrow|\uparrow\rangle = \begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix}.$$

Наконец, как уже стало ясно из примеров, коэффициент нормализации может быть включен как простой числовой коэффициент. Т.е. если$|A\rangle$является ненормализованным состоянием, то его нормализованная версия$|B\rangle=c|A\rangle$, и этот множитель действительно сопряжен:

$$\langle B|B\rangle = |c|^2\langle A|A\rangle=1 \Rightarrow |c|^2=\frac{1}{\langle A|A\rangle}.$$

Самый простой способ манипулировать кетами — максимально использовать разрешение единицы.

$$\int d^3x |x\rangle \langle x| = 1$$ Точно так же в импульсном пространстве $$\int d^3p |p\rangle \langle p| = 1$$ Тогда у вас есть $$\langle A |A \rangle = \int d^3x \langle A|x\rangle \langle x|A \rangle$$

и с тех пор$\langle A|x\rangle$представляет собой комплексное сопряжение$\langle x|A \rangle$ясно, что комплексное сопряжение относится к волновым функциям, а не к квантовым числам