Почему мы используем векторы в квантовой механике?

Но в математике (по крайней мере, насколько я изучал: математика средней школы с небольшим количеством линейной алгебры и геометрической алгебры) определение и использование векторов в значительной степени вращается вокруг того факта, что они имеют величину и направление.

Возможно, для вас это неочевидно, но ключевые слова в этом предложении — «немного» применительно к линейной алгебре.

В зрелой математике, и особенно в отношении линейной алгебры, векторы не являются «вещами, имеющими величину и направление». Вместо этого эти понятия занимают место в конце автобуса, и мы перефразируем это понятие так:

векторы — это объекты, которые удовлетворяют аксиомам векторного пространства .

Сюда входят такие вещи, как стрелки-с-величиной-и-направлением в двух или трех измерениях, но, как оказалось, почти все полезное, что можно сказать о стрелках-с-величиной-и- направлением . -направление следует непосредственно из аксиом векторного пространства (возможно, дополненных понятием (абстрактного) внутреннего продукта ). И, поскольку способ сделать математику действительно процветающей состоит в том, чтобы сделать вещи как можно более общими, не жертвуя результатами, способ, которым мы развиваем математику для векторов, состоит в том, чтобы работать непосредственно с векторными пространствами (то есть с любыми объектами, которые удовлетворяют аксиомам), так что наши результаты будут полезны для стрелок с величиной и направлением, а также для широкого круга других объектов.

Какого рода другие объекты, спросите вы? Ну и в качестве небольшой подборки:

• Стрелки-с-величиной-и-направлением, но более чем в трех измерениях, то есть в пространстве$\mathbb R^n$из$n$-туплеты действительных чисел. Которому, если хорошенько подумать, на самом деле нельзя присвоить «направление» в каких-либо по-настоящему понятных геометрических терминах.
• То же, но с комплексными числами:$\mathbb C^n$работает алгебраически почти так же, как$\mathbb R^n$, поэтому должны применяться те же результаты, но опять же это не интерпретируется как «стрелка» с «направлением».
• Матрицы, т.е.$\mathbb R^{m\times n}$, которые снова следуют тем же алгебраическим правилам, с теми же аксиомами и, следовательно, с теми же последствиями.
• Бесконечные последовательности$\mathbb R^\infty = \{(x_1,x_2,\ldots) | x_j \in \mathbb R\}$.
• Функциональные пространства , которые снова подчиняются одним и тем же аксиомам, поэтому они также подчиняются следствиям этих аксиом.

Что касается квантовой механики, то очень часто мы работаем в конечномерных пространствах, таких как$\mathbb C^n$, и в этом случае «векторный» язык, возможно, легче усвоить, но язык, который вас беспокоит, — это использование термина «вектор» для чего-то, что живет в функциональном пространстве, например,

Термин «вектор» за квантовым состоянием оправдан тем, что квантовые состояния являются элементами гильбертова пространства.$\mathcal{H}$(которое является векторным пространством).

Внутренний продукт$\langle\psi|\phi\rangle$является обычным векторным произведением в следующем смысле. Предположим, что$|\phi\rangle\in\mathcal{H}$и$\langle\psi|\in\mathcal{H}^*$, где$\mathcal{H}^*$векторное пространство, двойственное$\mathcal{H}$.

$\mathcal{H}^*$состоит из всех линейных функций$\langle\psi|:\mathcal{H}\to \mathbb{C}$, со свойством, что:

Меня это тоже озадачило, когда я начал изучать QM. Ключевой вывод состоит в том, что вы должны перестать думать о векторах как об объектах с направлением и величиной. Что ж, квантовые состояния имеют величину (и я думаю, вы могли бы связать с ними «направление»), но не всегда полезно думать о них так же, как вы думаете о векторах как о стрелках на листе бумаги. .

В абстрактном определении, предпочитаемом математиками, векторное пространство определяется как пространство объектов, которые (1) могут быть сложены вместе и (2) могут быть умножены на скаляры. Грубо говоря, это единственные два требования . В математике понятие «вектор» вовсе не ограничивается обыденной интуицией стрелок, указывающих в какую-либо сторону, и включает в себя всеобъектов, отвечающих вышеуказанным требованиям. Вы можете составить множество векторных пространств, которые не имеют ничего общего с обычными векторами, знакомыми по средней школе; многие из них полезны в физике. Причина думать обо всех них как о векторных пространствах состоит в том, что математики любят записывать общие теоремы, которые справедливы для всех векторных пространств в целом или для некоторых больших подклассов векторных пространств. Это приводит к множеству инструментов, доступных каждому, кто занимается квантовой механикой.

Итак, причина, по которой мы используем векторные пространства для описания квантовых состояний, заключается в том, что квантовые состояния также составляют векторное пространство в этом смысле: их можно складывать вместе и умножать на скаляры, как, я думаю, вы заметили. Простой способ увидеть, что квантовые состояния подчиняются требованиям к векторному пространству, состоит в том, чтобы поиграться с волновыми функциями, которые представляют собой квантовые состояния, записанные в позиционном базисе: очевидно, что их можно сложить и умножить на скаляр, хотя вам часто приходится беспокоиться о нормализации.

Еще одна очень полезная идея из теории векторных пространств — использование базиса, который представляет собой набор векторов, позволяющий выразить каждое состояние в виде линейной комбинации базисных векторов. Можно разложить квантовое состояние на собственные состояния положения, собственные состояния энергии, собственные состояния импульса или что угодно, используя математические инструменты, аналогичные изменению базисных векторов в 3D. Идея применения матриц к векторам аналогична применению операторов к квантовым состояниям и, как выясняется, также включает аналогичную математику.

Понятие внутреннего продукта на самом деле является дополнительной структурой , которая не включается автоматически в каждое векторное пространство. В КМ эта дополнительная структура внутреннего продукта также оказывается очень полезной, потому что она позволяет взять норму состояний и вычислить средние значения операторов, но имейте в виду, что не каждое векторное пространство имеет внутренний продукт.

Вы говорите, что «мы не связываем эти два ключевых качества [величину и направление] с векторами в квантовой механике». Верно то, что величина вектора не имеет значения, но очень важно направление. Это не «направление» в повседневном смысле этого слова, поскольку речь не идет о трехмерном реальном векторном пространстве. Но в математике нормально использовать$n$-мерные векторные пространства, а также комплексные векторные пространства, и по-прежнему называют объекты «векторами».

Иными словами, лучший способ описать квантовое состояние — это направление в абстрактном векторном пространстве. Направления обычно представляются в виде нормализованных векторов в этом пространстве, что мы и делаем в квантовой механике.

Вы должны изучить более линейную алгебру. В линейной алгебре понятие вектора становится значительно более абстрактным: в частности, векторы — это просто любые объекты, для которых у нас есть понятие сложения двух из них вместе, а также умножения на число (скаляр), что, конечно, также удовлетворяют некоторым знакомым основным принципам арифметики, таким как коммутативность и ассоциативность, которые вы уже должны знать из своего опыта в алгебре. Это, конечно, происходит в конечном счете из контекста «евклидов вектор», т. е. «стрелки от начала координат», которые вы можете сделать длиннее и короче и сложить вместе, поместив их хвост к их кончику и сформировав параллелограмм, но это значительно более общее, потому что есть многие другие вещи, которые также работают таким образом, такие как функции и даже сами матрицы.

Причина этого в квантовой механике заключается в том, что вы хотите иметь возможность формировать суперпозиции — все дело в «коте Шредингера», которое абсолютно фундаментально и основательно в квантовом масштабе.

Возможно, было бы лучше пройти через своего рода математическую конструкцию простого векторного пространства типа, используемого в квантовой механике, чтобы понять, что происходит.

Мы начинаем, конечно, с пустого набора,$S := \emptyset$. Теперь вставим в это множество два элемента, которые будем обозначать$|\mbox{live cat}\rangle$и$|\mbox{dead cat}\rangle$. Эти две вещи являются "примитивными" объектами - вы не должны думать о них как о чем-то с "ценностью", которую вы можете "оценить". Это обычная математическая ошибка; мы так привыкли, скажем, брать десятичное разложение действительного числа и ассоциировать в своем уме, что это и есть «истина», «за» таким символом, как$\pi$, например, когда на самом деле оно в действительности имеет не больше и не меньше «истины», чем что-то другое равноценное, как$4\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \cdots\right)$, т.е. ряд Мадхавы - и, во всяком случае, из-за своей простоты последний является гораздо более предпочтительным представлением, чем десятичное! Скорее всего, это всего лишь два объекта, если вам нравится, что за ними стоит «значение» того, что указано на этикетке. Что вам нужно сделать здесь, так это забыть склонность к «расчетам».

Но, конечно, нам нужно больше. Что происходит, когда ящик закрыт? Нам нужно что-то вроде$|\mbox{live cat}\rangle + |\mbox{dead cat}\rangle$. Вы знаете, что это такое. Итак, мы добавляем это к$S$также.

Однако возможны и другие комбинации. Во-первых, мы упомянули о необходимости масштабирования векторов, поэтому для$|\mbox{live cat}\rangle$мы также должны добавить все его масштабирования в набор:$\alpha |\mbox{live cat}\rangle$для некоторого комплексного числа$\alpha$. Они ничего не делают физически, но становятся важными, потому что позволяют взвешивать комбинации в суперпозиции. Мы можем сделать то же самое для$|\mbox{dead cat}\rangle$также. Если вы пройдете через все это и рассмотрите различные суммы, например$|\mbox{live cat}\rangle + 2|\mbox{dead cat}\rangle + (i|\mbox{dead cat}\rangle - [35 - \tau i]\mbox{live cat}\rangle)$и т. д. и использовать законы арифметики, такие как ассоциативность и объединение одинаковых терминов, чтобы упростить их (потому что вы должны быть в состоянии сделать это, чтобы иметь смысл как абстрактное векторное пространство), вы быстро увидите, что каждый элемент должен быть, в большинстве случаев, чем-то нравиться

и мы можем рассмотреть все вместе, положить в набор$S$, как определяющее векторное пространство для этой системы, которое содержит все возможные способы наложения кота Шредингера, включая как классические живые/мертвые состояния, так и все «своеобразные» состояния, и мы можем накладывать любые из них любым способом, который нам нравится. Если бы у нас не было этой способности, мы не смогли бы понять эту систему или любую другую квантовую систему, если уж на то пошло.