Электромагнитное поле как связь в векторном пучке

Вот короткий (-иш) ответ. Векторное расслоение — это семейство векторных пространств над многообразием. Векторные пространства могут иметь базы. Многообразие может иметь координаты. Эти два понятия не связаны априори (теперь для расслоения касательных пространств изменение координат вызывает изменение базиса; этот факт часто сеет путаницу). Как только вы выбираете основу для своего векторного пространства, вы определяете вектор по его компонентам, но кто-то другой может описывать тот же вектор в другой основе. Чтобы перевести в физику: смена базиса = калибровочное преобразование.

В случае заряженной частицы волновая функция есть составляющая одновекторного сечения; в новом базисе это число меняется на ненулевое комплексное число (которое может меняться от точки к точке). Опять же, волновая функция — это сечение, а сечение означает один вектор для каждой точки многообразия. Как отличить функцию, которая принимает значения в разных векторных пространствах в разных точках? Нам нужен способ соединения векторных пространств. Соединение делает это; с прагматической точки зрения, это всего лишь правило для проведения этой дифференциации.

Конечно, дифференцирование будет выглядеть по-разному в разных векторных пространствах, поэтому вид связи будет зависеть от базиса и изменяться при калибровочных преобразованиях (точно так же, как изменяется вид линейного преобразования при замене базисов). Вот что пытаются вам сказать различные запутанные формулы о том, как вещи «трансформируются».

1. Не совсем уверен в этом вопросе. Возможно, вы просто спрашиваете о нотации? Вы можете выбрать все, что вам нравится. Но обычно вы выбираете одну систему координат и просто работаете в ней. Это, конечно, не проблема, если вы работаете в плоском пространстве-времени: там у вас есть хорошие глобальные координаты для всего.

2. • Первая фраза правильная. Для произвольной группы Ли$G$с алгеброй Ли$\mathfrak{g}$вы можете получить так называемую G-структуру (например ,$O(n)$-структура для римановых многообразий), и вы можете определить связность на ней. Это довольно тяжелая математика, но в конце концов вы получите$\mathfrak{g}$-значная (точнее, принимает значения в присоединенном представлении$\mathfrak{g}$) одноформенный$\omega$и ковариантная производная$D_{\mu}$например тот, что вы написали.

   • В общем, я визуализирую связи так: вы вводите вектор, и связь возвращает вам элемент алгебры Ли, который является генератором некоторого преобразования в группе Ли. Например, на римановом многообразии вы вставляете в связь направление, в котором хотите двигаться, и получаете (очень грубо) информацию о том, насколько пространство искривлено в этом направлении. Точнее, если интегрировать$\oint_{\gamma} \exp(\omega(\dot{\gamma}(t))) dt$вы получаете некоторый элемент$T \in G$который говорит вам, как любой вектор параллельно перемещается по замкнутой кривой$\gamma$(это называется голономия).

   • Что касается последнего вопроса, почему$U(1)$: ну, потому что это электромагнетизм. Различные группы дадут вам различные взаимодействия (например,$SU(3)$дает вам QCD). Эти группы возникают из-за того, что теории содержат то, что называется калибровочной симметрией. Я уверен, вы знаете, что уравнения Максвелла, записанные на$A$а также$\phi$, инвариантны к некоторым преобразованиям. Более конкретно и ясно, как${\bf F} = d{\bf A}$, куда${\bf F}$представляет собой электромагнитный тензор и${\bf A}$является четырехпотенциальным. В таком виде очевидно, что уравнения для${\bf F}$не измениться при трансформации${\bf A'} = {\bf A} + d\chi$. Теперь давайте вернемся к$\psi$и обратите внимание, что если вы хотите сделать теорию локально инвариантной (зачем вам это делать? потому что хорошо иметь локальные свойства вместо глобальных. И теория явно инвариантна по отношению к глобальному фазовому изменению, так что давайте просто попробуем это) что касается изменения фазы, вам придется ввести новую степень свободы${\bf A}$который преобразуется точно так же, как 4-потенциал в теории Максвелла! На самом деле, мы только что восстановили фотоны. Итак, в заключение: если вы выберете$U(1)$как группа симметрий появляется электромагнетизм. Но заметьте, что для последовательного включения всего этого вам нужно работать в рамках квантовой теории поля, потому что уравнение Шредингера явно не является релятивистски инвариантным, а это свойство, которое мы, безусловно, хотели бы иметь в теории электромагнетизма.

3. Это может немного сбить с толку, особенно в литературе по физике, и я сомневаюсь, что смогу сделать это яснее. Возможно, это еще больше запутает вас, но вот: существуют различные пространства секций и$G$-структуры и представления обоих$G$а также$\mathfrak{g}$что действительно следует различать между но которые идентифицированы в физике. Чтобы сделать это строгим, потребовалось бы слишком много места, поэтому я предлагаю вам просмотреть несколько книг по калибровочной теории. Я просто скажу вам, что вектор (точнее векторное поле ) — это тоже сечение и наоборот. Но обратите внимание, что здесь смешиваются еще два термина: абстрактный вектор как понятие из линейной алгебры (это наш$\psi$: вы знаете, что это такой вектор, потому что у него нет пространственно-временного индекса$\mu$) и вектор как элемент пространства-времени Минковского, скажем$V^{\mu}$. Для$D_{\mu}$, он действует (в расширении) также на тензорной алгебре пространства сечений$\psi$(в этом простом случае, когда$\psi$не имеет индекса, тензорная алгебра изоморфна нормальной касательной тензорной алгебре) и дает вам одну форму, живущую в этой тензорной алгебре, так что да: это сечение, но в совершенно другом (хотя и изоморфном) пространстве!

Не нужно извиняться. Эти вещи довольно сложны, и требуется много времени, чтобы разобраться во всем этом, и я думаю, что многие физики просто отмахнулись бы от большей части математического содержания и приступили к вычислению чего-либо. Что здесь возможно, потому что$U(1)$только одномерна, ее алгебра Ли одномерна, и поэтому$\psi$. Таким образом, вы все время работаете только с числами, и не возникает необходимости в абстрактных понятиях. За исключением того, что это ничуть не поможет вам, когда вы попытаетесь обобщить это (либо на КХД с неабелевой группой$SU(3)$, или к искривленному пространству-времени), или даже если вы попробуете подумать о некоторых концепциях, довольно основных с точки зрения геометрии (например, попробуйте подумать о том, что означает упомянутая выше голономия по отношению к$\gamma$в случае$U(1 )$). Так что хорошо, что вы уже пытаетесь понять основные принципы.

---

Обновление в отношении вопроса Грега в комментариях:

Я не уверен, что полностью вас понимаю, но у меня возникло ощущение (возможно, ошибочное), что вы смешиваете здесь различные понятия инвариантности. Существует как минимум два понятия физической инвариантности (под действием группы Лоренца и под действием$U(1)$), а также понятие инвариантности в смысле «бескоординатности». Теперь, если я правильно чувствую, вы просите аналог$v = v^{\mu}{{\rm \partial} \over {\rm \partial} x^{\mu}}$за$\psi$. Эти две вещи действительно очень похожи, но немного замаскированы. Точнее:$v$является сечением касательного расслоения$TM$и мы разлагаем его по некоторому сечению канонического касательного репера расслоения$FM$, что также несет в себе естественное действие группы$GL_k({\mathbb{R}})$(действие - локальная смена базиса и$k$ранг$TM$). Другими словами, мы имеем$G$-структура здесь и отсюда берется "бескоординатная" инвариантность. Аналогичная ситуация с$\psi$: это сечение векторного расслоения$\pi: V \to M$который несет$U(1)$-структура. На этом этапе также должно быть ясно, в чем разница между двумя случаями: в первом у вас есть два пакета$TM$а также$FM$а в последнем есть только$\pi: V \to M$. Так что нет смысла просить$\psi$быть более инвариантным, чем оно уже есть: у вас нет ничего, относительно чего вы могли бы разложить его. Поэтому вместо того, чтобы думать о$\psi$как аналог секции$TM$, думайте об этом как об аналоге раздела$FM$.

Я вполне понимаю ваше замешательство, поскольку вполне естественно, что вы чувствуете себя ошеломленным этой новой точкой зрения на теорию.

Ответы, данные Эриком и Мареком , просто прекрасны, и я не буду прямо говорить о главных связках, локальной тривиализации и тому подобном. Я хочу представить здесь очень интуитивный подход.

Я бы посоветовал вам вернуться на один или два шага назад и попытаться понять понятие ковариантной производной в классической дифференциальной геометрии. Там ковариантная производная$D$гарантирует, что если вы получите некоторую величину$F$на многообразии, скажем, на некоторой поверхности, эта новая величина$DF$также будет лежать «на многообразии» (собственно, что-то связанное с ним, например касательное пространство).

Следующий пример, мы надеемся, проиллюстрирует проблему, что означает, что что-то должно «остаться на коллекторе».

Точка массы на поверхности

Хорошо, давайте рассмотрим самый простой пример, который только можно придумать, движение точки свободной массы на поверхности в ньютоновской механике. Как известно, лагранжиан в данном случае — это просто кинетическая энергия,

$$L = T = \frac{m}{2}\mathbf{v}^2$$

Итак, что сейчас$\mathbf{v}^2$? Мы должны предположить, что в каждой точке скорость касается поверхности. Тогда мы знаем, что$\mathbf{v}^2 = g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b$где мы суммируем по индексам и поверхность описывается некоторой метрикой$g_{ab}(x)dx^adx^b$и мы заменили скорость производной по времени от положения частицы.

Для решения системы нам понадобятся два слагаемых. Прежде всего, мы хотим рассчитать

$$\frac{\partial{L}}{\partial{x^k}} = \frac{m}{2}\partial_k{g_{ab}(x)}\dot{x}^a\dot{x}^b$$

второй,

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}^k}} = \frac{d}{dt}\frac{m}{2}g_{ab}(x) \left( \delta^a_k\dot{x}^b + \dot{x}^a\delta^b_k \right) = m\frac{d}{dt}g_{kb}(x)\dot{x}^b$$

поскольку$g$симметричен. В настоящее время,

$$m\frac{d}{dt}g_{kb}(x)\dot{x}^b = m\left( \partial_lg_{kb}(x)\dot{x}^l\dot{x}^b + g_{kb}(x)\ddot{x}^b\right)$$

Наконец, уравнения движения имеют вид

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}^k}} - \frac{\partial{L}}{\partial{x^k}} = 0$$

и отбрасывая m, повторно используя симметрию в$g$и переименовывая некоторые индексы, приходим к

$$g_{kb}\ddot{x}^b+\frac{1}{2}\left( \partial_a g_{kb} + \partial_b g_{ka} - \partial_k g_{ab} \right)\dot{x}^a\dot{x}^b = 0$$

что именно путем применения$g^{ik}$

$$\ddot{x}^i + \Gamma^i_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b = 0$$

Где символы Кристоффеля можно непосредственно рассматривать как

$$\Gamma^i_{ab} = \frac{1}{2}g^{ik}\left( \partial_a g_{kb} + \partial_b g_{ka} - \partial_k g_{ab} \right)$$

и я надеюсь, что я ничего не просчитался.

Отношение к электродинамике

Вот это уравнение движения уже волшебное, поскольку оно и есть уравнение движения пробной частицы в ОТО . Но как насчет (других) калибровочных теорий поля?
Здесь кривизна определяется не непосредственно по отношению к многообразию, а как-то «привязанной» к нему группе. Вот почему у него будут некоторые групповые индексы, но их можно отбросить, если алгебра Ли группы одномерна, как в случае электродинамики. Там наша кривизна$F_{\mu\nu}$но мы могли бы также указать$F^a_{\mu b\nu}$где сейчас$a$а также$b$являются индексами группы. Это выглядит гораздо более похожим на кривизну общей теории относительности,$R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}$где все индексы соответствуют многообразию, касательное пространство в каком-то смысле является группой общей теории относительности, грубо говоря.

По историческим причинам символы Кристоффеля, которые каким-то образом улавливают (не инвариантно!) силу, действующую на частицу из-за кривизны, в калибровочных теориях называются калибровочными полями.$A$и масштабируется,

$$\beta A^a_{\mu b}dx^{\mu}" = "\Gamma^a_{\mu b}dx^\mu$$

с снова групповыми индексами$a$а также$b$.

Теперь, если вы выведете что-то на многообразии, вам всегда придется определять эту производную по отношению к символам Кристоффеля, чтобы оставаться «в многообразии». С другой стороны, вывод также должен учитывать групповой характер, можно сказать, что результат должен оставаться «в группе». Это будет реализовано с помощью ковариантной производной, и здесь «символы Кристоффеля» называются калибровочными полями.

Искренне

Роберт

Лучшая книга, которую я видел на эту тему, написана Крисом Ишамом под названием « Современная дифференциальная геометрия для физиков » . Это тяжело, потому что он делает все строго, но это того стоит в конце для концептуального прояснения.

В основном есть две концепции, которыми нужно овладеть: главные расслоения и векторные расслоения. Понятие связи может быть определено в обоих независимо, и полезно знать, как переводить между ними.

Основное расслоение имеет структурную группу, обычно известную в физике как калибровочная группа, и основная конструкция, которая дает вам векторное расслоение из нее, называется ассоциированным расслоением, которое получается путем предоставления представления структуры/калибровочной группы.

1) Обозначения тяжелые, потому что есть масса деталей, за которые нужно держаться. Каждый шаг прямолинеен, но это его огромное количество.

2) Соединение на главном пучке$E$является расщеплением его касательного расслоения$TE$в вертикальный пучок$VE$и горизонтальный пучок$HE$то есть эквивариантно , это означает, что оно совместимо с действием структурной группы на слоях. 1-форма связности возникает из наблюдения, что мы можем отождествить слои вертикального расслоения с касательным расслоением группы$G$в начале$e$, то есть получаем$T_eG$, а это в точности алгебра Ли группы.

3) Нельзя напрямую использовать 1-форму связи так, как вы указали. Вместо этого ковариантная производная строится из 1-формы связи, которая сама по себе не является 1-формой.

Стоит отметить, что главные и векторные расслоения и связности на них являются глобальными конструкциями, тогда как конструкции, которые обычно встречаются в физике, обычно локальны. Чтобы получить локальную картину, обычно берут часть пучка, а затем вытягивают геометрическую структуру.

Это был момент, который меня смутил. Например, 1-форма математической связи глобальна, а 1-форма физической связи локальна и они разные .