Обратное и транспонированное преобразование Лоренца.

Question

Обратное и транспонированное преобразование Лоренца.

Шрей

Я видел, как этот вопрос задавали несколько раз на Stack Exchange, но я все еще не понимаю, почему возникает следующее «противоречие».

По определению:

$(\Lambda^T)^{\mu}{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}{}^{\mu}$
$\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ , который $\Lambda^{\rho}{}_{\mu} \eta_{\rho \sigma} \Lambda^{\sigma}{}_{\nu} = \eta_{\mu \nu}$ в индексной записи.

Мы можем дополнительно манипулировать вторым определением (как это сделано в примечаниях к лекции Тонга ):

$\begin{align} \Lambda^{\rho}{}_{\mu} \eta_{\rho \sigma} \Lambda^{\sigma}{}_{\nu} &= \eta_{\mu \nu} \\ \Lambda^{\rho}{}_{\mu} \Lambda_{\rho \nu} &= \eta_{\mu \nu} \\ \Lambda^{\rho}{}_{\mu} \Lambda_{\rho \nu} \eta^{\nu \sigma} &= \eta_{\mu \nu} \eta^{\nu \sigma} \\ \Lambda^{\rho}{}_{\mu} \Lambda_{\rho}{}^{\sigma} &= \delta_{\mu}^{\sigma} \\ \Lambda_{\rho}{}^{\sigma} \Lambda^{\rho}{}_{\mu} &= \delta_{\mu}^{\sigma} \end{align}$

Напоминая, что $({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho}$ определяется через:

(Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} Λ^{ρ}_{μ} знак равно δ_{μ}^{σ}

$({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho} \Lambda^{\rho}{}_{\mu} = \delta^{\sigma}_{\mu}$

Отсюда следует, что

\begin{matrix} (А) & (Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} знак равно Λ_{ρ}^{σ} \end{matrix}

$({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho} = \Lambda_{\rho}{}^{\sigma}\tag{A}$ но согласно определению 1 не

\begin{matrix} (В) & (Λ^{Т})^{σ}_{ρ} знак равно Λ_{ρ}^{σ} ? \end{matrix}

$({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho} = \Lambda_{\rho}{}^{\sigma}~?\tag{B}$ Похоже, это неверно означает, что

\begin{matrix} (С) & (Λ^{Т})^{σ}_{ρ} знак равно (Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} . \end{matrix}

$({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho} = ({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho}\tag{C}.$ Я не совсем уверен, какой шаг моей логики неверен.

Тонг делает следующий комментарий к результату (A):

Результат аналогичен утверждению, что матрица, обратная матрице вращения, является транспонированной матрицей. Для общих преобразований Лоренца мы узнаем, что инверсия - это своего рода транспонирование, где «своего рода» означает, что есть знаки минус от повышения и понижения. Расположение индексов говорит нам о том, куда идут эти минусовые знаки.

Этот комментарий, кажется, предполагает, что (B) неверно - хотя это просто похоже на простое применение определения 1.

Отредактируйте, чтобы уточнить вопрос после первоначальных ответов:

Почему из этого анализа неверно заключить, что

\begin{matrix} (D) & Λ^{- 1} знак равно Λ^{Т} ? \end{matrix}

$\Lambda^{-1} = \Lambda^T~?\tag{D}$ Мы знаем, что это матричное уравнение неверно, но почему это не подразумевается

(Λ^{T})^{σ}_{ρ} = Λ_{ρ}^{σ} = (Λ^{- 1})^{σ}_{ρ}

$({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho} = \Lambda_{\rho}{}^{\sigma} = ({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho}$ поскольку индексы в

Λ^{T}

$\Lambda^{T}$ и

Λ^{- 1}

$\Lambda^{-1}$ такие же?

Дополнительный уточняющий вопрос:

Некоторые из ответов покажут, что на самом деле только матричное уравнение D неверно, потому что структура индекса $\Lambda$ является $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ , индексная структура $\Lambda^{-1}$ является ${(\Lambda^{-1})}^{\mu}{}_{\nu}$ , но структура индекса $\Lambda^T$ является ${(\Lambda^{T})}_{\mu}{}^{\nu}$ ( не ${(\Lambda^{T})}^{\mu}{}_{\nu}$ ).

Однако остается один последний вопрос: как мы можем явно показать, что матрица $\Lambda^T$ должен соответствовать этой другой структуре индекса? Использование этой структуры снова делает все согласованным, но как это следует из определения матрицы $\Lambda$ как соответствующий $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ ?

Шрей

Physics.stackexchange.com/q/456640 кажется наиболее подходящей ссылкой. Ответ Даблфеликса о том, как

(Λ^{T})_{α}^{σ} Λ_{μ}^{α} = δ_{μ}^{σ}

$(\Lambda^T)^\sigma_{\,\,\alpha}\Lambda^\alpha _{\,\,\mu}=\delta_\mu ^{\,\,\sigma}$ следует интерпретировать, действительно помогает, но я думаю, было бы неплохо ясно увидеть, почему нет противоречия.

Шрей

Physics.stackexchange.com/q/144371

Прахар

Структура индекса

Λ^{T}

$\Lambda^T$ является

(Λ^{T})_{μ}^{ν} = Λ^{ν}_{μ}

$(\Lambda^T)_\mu{}^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu$ . Все, что вы сделали, будет исправлено, если вы возьмете это за отправную точку.

Шрей

Я отредактировал свой пост, чтобы прояснить вопрос. @Prahar, по структуре индекса вы имеете в виду, что

Λ^{T}

$\Lambda^T$ всегда следует интерпретировать как

(Λ^{T})_{μ}^{ν}

$(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ ? Кроме того, я полагаю

Λ

$\Lambda$ всегда следует интерпретировать как

Λ = Λ^{α}_{β}

$\Lambda = \Lambda^{\alpha}{}_{\beta}$ . Я думаю, это помогает понять, почему нет противоречия:

(Λ^{T})^{σ}_{ρ} = (Λ^{- 1})^{σ}_{ρ}

$({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho} = ({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho}$ но LHS - это не то, что мы обычно называем

Λ^{T}

$\Lambda^{T}$ из-за точки структуры индекса?

Прахар

@Shrey - Вы совершенно правы. LHS следует толковать как

(Λ^{T})^{σ}_{ρ} = η^{σ α} (Λ^{T})_{α}^{β} η_{β ρ} = η^{σ α} Λ^{β}_{α} η_{β ρ}

$(\Lambda^T)^\sigma{}_\rho = \eta^{\sigma\alpha} ( \Lambda^T)_\alpha{}^\beta \eta_{\beta\rho} = \eta^{\sigma\alpha} \Lambda^\beta{}_\alpha \eta_{\beta\rho}$

Шрей

@Prahar Спасибо, это помогает понять, где я ошибся. Кроме того, мне было интересно, почему

(Λ^{T})^{μ}_{ν} = Λ_{ν}^{μ}

$(\Lambda^T)^{\mu}{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}{}^{\mu}$ также не может быть действительным вместе с

(Λ^{T})_{μ}^{ν} = Λ^{ν}_{μ}

$(\Lambda^T)_\mu{}^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu$ независимо от структуры индекса

Λ^{T}

$\Lambda^T$ , который, как я понимаю, представляет собой матрицу

Λ^{T}

$\Lambda^T$ в виде индекса. т.е.

Λ^{T}

$\Lambda^T$ должен быть написан

(Λ^{T})_{μ}^{ν}

$(\Lambda^T)_\mu{}^\nu$ , но не можем ли мы рассмотреть

(Λ^{T})^{μ}_{ν}

$(\Lambda^T)^{\mu}{}_{\nu}$ так или иначе? я думал

(A^{T})^{α}_{β} = A_{β}^{α}

$(A^T)^{\alpha}{}_{\beta} = A_{\beta}{}^{\alpha}$ должно выполняться независимо от А.

Прахар

Это также полностью верно, если вы понимаете, что имеют в виду обе стороны. LHS - это то, что я описал в моем последнем комментарии, тогда как RHS - это

η_{ν β} Λ^{β}_{α} η^{α μ}

$\eta_{\nu\beta} \Lambda^\beta{}_\alpha \eta^{\alpha\mu}$ которая с использованием определяющего уравнения для матрицы Лоренца имеет вид

(Λ^{- 1})^{μ}_{ν}

$(\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu$ . Вы можете свободно манипулировать всеми индексами сколько угодно. Просто убедитесь, что вы точно понимаете, что означает каждая сторона, когда вы возвращаетесь к матричной нотации.

Шрей

В этом есть смысл! Мой (надеюсь, последний) нерешенный вопрос: почему структура индекса

(Λ^{T})_{μ}^{ν} = Λ^{ν}_{μ}

$(\Lambda^T)_\mu{}^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu$ согласуется со структурой индекса

Λ = Λ^{μ}_{ν}

$\Lambda = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}$

Шрей

Давайте продолжим эту дискуссию в чате .

Привет пока

Почему мы это знаем

Λ^{- 1} = Λ^{T}

$\Lambda^{-1} = \Lambda^T$ это не правда? Какой контрпример этому?

Ответы (5)

Обратное и транспонированное преобразование Лоренца.

Physics.stackexchange.com/q/456640 кажется наиболее подходящей ссылкой. Ответ Даблфеликса о том, как $(\Lambda^T)^\sigma_{\,\,\alpha}\Lambda^\alpha _{\,\,\mu}=\delta_\mu ^{\,\,\sigma}$ следует интерпретировать, действительно помогает, но я думаю, было бы неплохо ясно увидеть, почему нет противоречия.
Структура индекса $\Lambda^T$ является $(\Lambda^T)_\mu{}^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu$ . Все, что вы сделали, будет исправлено, если вы возьмете это за отправную точку.
Я отредактировал свой пост, чтобы прояснить вопрос. @Prahar, по структуре индекса вы имеете в виду, что $\Lambda^T$ всегда следует интерпретировать как $(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ ? Кроме того, я полагаю $\Lambda$ всегда следует интерпретировать как $\Lambda = \Lambda^{\alpha}{}_{\beta}$ . Я думаю, это помогает понять, почему нет противоречия: $({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho} = ({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho}$ но LHS - это не то, что мы обычно называем $\Lambda^{T}$ из-за точки структуры индекса?
@Shrey - Вы совершенно правы. LHS следует толковать как $(\Lambda^T)^\sigma{}_\rho = \eta^{\sigma\alpha} ( \Lambda^T)_\alpha{}^\beta \eta_{\beta\rho} = \eta^{\sigma\alpha} \Lambda^\beta{}_\alpha \eta_{\beta\rho}$
@Prahar Спасибо, это помогает понять, где я ошибся. Кроме того, мне было интересно, почему $(\Lambda^T)^{\mu}{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}{}^{\mu}$ также не может быть действительным вместе с $(\Lambda^T)_\mu{}^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu$ независимо от структуры индекса $\Lambda^T$ , который, как я понимаю, представляет собой матрицу $\Lambda^T$ в виде индекса. т.е. $\Lambda^T$ должен быть написан $(\Lambda^T)_\mu{}^\nu$ , но не можем ли мы рассмотреть $(\Lambda^T)^{\mu}{}_{\nu}$ так или иначе? я думал $(A^T)^{\alpha}{}_{\beta} = A_{\beta}{}^{\alpha}$ должно выполняться независимо от А.
Это также полностью верно, если вы понимаете, что имеют в виду обе стороны. LHS - это то, что я описал в моем последнем комментарии, тогда как RHS - это $\eta_{\nu\beta} \Lambda^\beta{}_\alpha \eta^{\alpha\mu}$ которая с использованием определяющего уравнения для матрицы Лоренца имеет вид $(\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu$ . Вы можете свободно манипулировать всеми индексами сколько угодно. Просто убедитесь, что вы точно понимаете, что означает каждая сторона, когда вы возвращаетесь к матричной нотации.
В этом есть смысл! Мой (надеюсь, последний) нерешенный вопрос: почему структура индекса $(\Lambda^T)_\mu{}^\nu = \Lambda^\nu{}_\mu$ согласуется со структурой индекса $\Lambda = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}$
Давайте продолжим эту дискуссию в чате .
Почему мы это знаем $\Lambda^{-1} = \Lambda^T$ это не правда? Какой контрпример этому?

Qmechanic · Answer 1

Обратите внимание, что обычное определение транспонированной матрицы
$\begin{matrix} (1 ') & (Λ^{Т})_{ν}^{μ} знак равно Λ^{μ}_{ν} . \end{matrix}$ $(\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu} ~:=~ \Lambda^{\mu}{}_{\nu}.\tag{1'}$ немного отличается от определения OP (1).
Проще говоря: когда мы не применяем метрику, матрица Лоренца $\Lambda$ имеет условно наклонные индексы СЗ-ЮВ, а транспонированная матрица $\Lambda^T$ имеет наклонные индексы SW-NE.

См. Также, например, этот и этот связанный пост Phys.SE.
Между прочим, ОП эк. (1) согласуется с ур. (1 ') после соответствующего повышения и понижения индексов с помощью метрики.
Ур. (D) неверно, потому что он не соответствует вышеуказанному соглашению.
Подробнее: В матричной форме ОП эк. (A) - (C) читать
$\begin{matrix} (А) & Λ^{- 1} знак равно (η Λ η^{- 1})^{Т}, \end{matrix}$ $\Lambda^{-1}~=~ (\eta\Lambda\eta^{-1})^T,\tag{A}$ $\begin{matrix} (В) & η^{- 1} Λ^{Т} η знак равно (η Λ η^{- 1})^{Т}, \end{matrix}$ $\eta^{-1}\Lambda^T\eta~=~ (\eta\Lambda\eta^{-1})^T,\tag{B}$ $\begin{matrix} (С) & η^{- 1} Λ^{Т} η знак равно Λ^{- 1}, \end{matrix}$ $\eta^{-1}\Lambda^T\eta~=~\Lambda^{-1},\tag{C}$ соответственно, что действительно все верно. Уравнение (C) следует из определения $Λ^{Т} η Λ знак равно η$ $\Lambda^T\eta\Lambda~=~\eta$ из матрицы Лоренца .

Спасибо за ваш ответ. Я попытался обосновать матричную форму A и B, чтобы убедиться, что я правильно понял (обозначив обратную метрику как метрику для краткости) - я думаю, что показал A, но получил что-то другое для B. Я опубликую их отдельно комментарии, так как это слишком долго. Однако, исходя из A и B в виде индекса, почему я не могу тогда сделать вывод, что $\Lambda^{-1} = \Lambda^T$ в матричной форме?
Для: $\begin{aligned} (Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} & знак равно η^{σ ν} (Λ^{Т})_{ν}^{μ} η_{μ ρ} \\ знак равно η^{σ ν} (Λ^{Т})_{ν}^{μ} η_{μ ρ} \\ знак равно η^{ν σ} η_{ρ μ} (Λ)^{μ}_{ν} \\ знак равно Λ_{ρ}^{σ} \end{aligned}$ $\begin{align} (\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho} &= \eta^{\sigma \nu} (\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu} \eta_{\mu \rho} \\ &= \eta^{\sigma \nu} (\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu} \eta_{\mu \rho}\\ &= \eta^{\nu \sigma} \eta_{\rho \mu} (\Lambda)^{\mu}{}_{\nu} \\ &= \Lambda_{\rho}{}^{\sigma} \\ \end{align}$
Для B: $\begin{aligned} Λ_{ρ}^{σ} & знак равно (η_{ρ μ} Λ^{μ}_{ν} η^{ν σ}) \\ η^{σ ν} (Λ^{Т})_{ν}^{μ} η_{μ ρ} & знак равно (η_{ρ μ} Λ^{μ}_{ν} η^{ν σ}) \\ η Λ^{Т} η & знак равно η Λ η \end{aligned}$ $\begin{align} \Lambda_{\rho}{}^{\sigma} &= (\eta_{\rho \mu} \Lambda^{\mu}{}_{\nu} \eta^{\nu \sigma}) \\ \eta^{\sigma \nu} (\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu} \eta_{\mu \rho} &= (\eta_{\rho \mu} \Lambda^{\mu}{}_{\nu} \eta^{\nu \sigma}) \\ \eta \Lambda^T \eta &= \eta \Lambda \eta \end{align}$ Однако это матричное уравнение отличается от того, к которому вы пришли.
В соответствии с соглашением, что $\Lambda$ имеет наклонные индексы NW-SE, есть ли несколько строк алгебры, которые могут показать $\Lambda^T$ имеет индексы SW-NE? Точно так же можно показать, почему (1 ') должно быть обычным определением, совместимым с наклонными индексами $\Lambda$ ? Я понимаю, что транспонирование переключает индексы строк и столбцов, сохраняя их вертикальное положение неизменным, но этого недостаточно.

user26872 · Answer 2

$\def\th{\theta} \def\sp{\hspace{1ex}} \def\b{\beta} \def\a{\alpha} \def\m{\mu} \def\n{\nu} \def\g{\gamma} \def\d{\delta} \def\mt{\eta} \def\mti{\mt^{-1}} \def\F{\Phi} \def\Ft{\widetilde{\F}} \def\L{\Lambda} \def\Li{\L^{-1}} \def\Lt{\L^T} \def\id{\mathbb{I}}$ Из инвариантного интервала на выводит

\begin{aligned} (1) & Λ_{α}^{β} η_{β γ} Λ_{δ}^{γ} & знак равно η_{α δ} . \end{aligned}

$\begin{align*} \L^\b_{\sp\a} \mt_{\b\g} \L^\g_{\sp\d} &= \mt_{\a\d}.\tag{1} \end{align*}$ Позволять

Φ_{α}^{β} = Λ_{α}^{β}

$\F_\a^{\sp\b}=\L^\b_{\sp\a}$ , поэтому (1) записывается как

\begin{aligned} (2) & Φ_{α}^{β} η_{β γ} Λ_{δ}^{γ} & знак равно η_{α δ} \end{aligned}

$\begin{align*} \F_\a^{\sp\b} \mt_{\b\g} \L^\g_{\sp\d} &= \mt_{\a\d}\tag{2} \end{align*}$ с матричной интерпретацией

\begin{aligned} (3) & Φ η Λ знак равно η . \end{aligned}

$\begin{align*} \F\mt\L=\mt.\tag{3} \end{align*}$ По индексу гимнастика (2) массируется в форму

Φ_{γ}^{α} Λ_{δ}^{γ} знак равно δ_{δ}^{α}

$\F^\a_{\sp\g} \L^\g_{\sp\d} = \d^\a_\d$ так

Φ_{β}^{α} = (Λ^{- 1})_{β}^{α}

$\F^\a_{\sp\b} = (\Li)^\a_{\sp\b}$ . Обратите внимание, что, что критически важно, первый индекс был повышен, а последний - понижен. Сдача

\tilde{Φ}

$\Ft$ - матрица, определяемая

Φ_{β}^{α}

$\F^\a_{\sp\b}$ у нас есть

\tilde{Φ} знак равно Λ^{- 1} .

$\Ft=\Li.$ Однако мы заинтересованы в

Φ_{α}^{β}

$\F_\a^{\sp\b}$ . Мы нашли

Φ_{α}^{β} = η_{γ α} Φ_{δ}^{γ} η^{β δ} = η_{γ α} (Λ^{- 1})_{δ}^{γ} η^{β δ}

$\F_\a^{\sp\b} = \mt_{\g\a}\F^\g_{\sp\d}\mt^{\b\d} = \mt_{\g\a}(\Li)^\g_{\sp\d}\mt^{\b\d}$ . Это имеет матричную интерпретацию

\begin{aligned} (4) & Φ & знак равно η Λ^{- 1} η^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} \F &= \mt\Li\mti. \tag{4} \end{align*}$ Фактически (4) непосредственно следует из (3), что свидетельствует о полезности матричного представления. Путаница сводится к одному между

Φ

$\F$ и

\tilde{Φ}

$\Ft$ . Из (4) и общего вида для

Λ

$\L$ тот

Φ = Λ^{T}

$\F=\Lt$ . (См. Комментарий ниже.) Таким образом,

Λ^{Т} η Λ знак равно η

$\Lt\mt\L=\mt$ - правильное матричное представление (1).

Проиллюстрируем разницу между $\F$ и $\Ft$ на конкретном нетривиальном примере. Представлять $\L^\a_{\sp\b}$ от

Λ знак равно [\begin{array}{cccc} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & потому что θ & - грех θ & 0 \\ 0 & грех θ & потому что θ & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{array}] .

$\L = \left[ \begin{array}{cccc} \gamma & 0 & 0 & -\beta \gamma \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \\ \end{array} \right].$ потом

Φ знак равно Λ^{Т} знак равно [\begin{array}{cccc} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & потому что θ & грех θ & 0 \\ 0 & - грех θ & потому что θ & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{array}] .

$\F = \Lt = \left[ \begin{array}{cccc} \gamma & 0 & 0 & -\beta \gamma \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \\ \end{array} \right].$ Но

\tilde{Φ} знак равно Λ^{- 1} знак равно [\begin{array}{cccc} γ & 0 & 0 & β γ \\ 0 & потому что θ & грех θ & 0 \\ 0 & - грех θ & потому что θ & 0 \\ β γ & 0 & 0 & γ \end{array}] .

$\Ft = \Li = \left[ \begin{array}{cccc} \gamma & 0 & 0 & \beta \gamma \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \\ \end{array} \right].$ (Это повышение

z

$z$ направление и вращение вокруг

z

$z$ -ось.)

Комментарий

Когда кто-то изучает общие решения (1), он обнаруживает, что они представляют собой комбинации поворотов и ускорений. Обратите внимание, что для вращения $\mt \L(\th)^{-1}\mti=\mt\L(-\th)\mti=\L(-\th)=\L(\th)^T$ и это для повышения, $\mt \L(\b)^{-1}\mt=\mt \L(-\b)\mti= \L(\b)=\L(\b)^T$ .

Спасибо за ваш ответ. "Несложно показать [...], что $\Phi=\Lambda^T$ . "К сожалению, эта часть мне не слишком ясна. Разве уравнение 1 (или 3) не является определяющим уравнением для $\Lambda$ ? Не знаю, как использовать это уравнение и (4), чтобы это показать. Может быть, понимание этого прояснит, почему $\Lambda^T = (\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ , в то время как $\Lambda = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ и $\Lambda^{-1} = (\Lambda^{-1})^{\mu}{}_{\nu}$ . т.е. почему матричное представление для $\Lambda^T$ соответствует этому конкретному размещению индекса, чтобы быть совместимым с индексами в матрице rep $\Lambda$
Рад помочь! Я добавил короткий комментарий выше, чтобы решить эту проблему.

Чарльз Фрэнсис · Answer 3

Я думаю, это сбивает с толку то, что тензорные и матричные нотации смешиваются таким образом, что на самом деле не имеет смысла. Кроме того, в обозначениях не учтено, что преобразование Лоренца переводит одну систему координат в другую. Обычно требовалось простое число на любом $\mu$ или $\nu$ (один говорит о координатах со штрихом и без него). Преобразование Лоренца является частным случаем общего преобразования координат, которое можно записать

k_{ν}^{μ^{'}} знак равно {Икс}_{, ν}^{μ^{'}} знак равно \frac{\partial {Икс}^{μ^{'}}}{\partial {Икс}^{ν}}

$k^{\mu'}_\nu = x^{\mu'}_{,\nu} = \frac{\partial x^{\mu'} }{\partial x^{\nu}}$

В таком случае ${\mu'}$ бежит по рядам и ${\nu}$ бежит по столбцам. Не имеет значения, какой из индексов является «первым» (я определенно предпочитаю учетные записи вроде Дирака, «Общая теория относительности», которая явно не ставит ни один из индексов на первое место в этом случае). При транспонировании ковариантные и контравариантные индексы меняются местами, что делает бессмысленным ваше определение 1. Транспонирование используется для матриц, потому что порядок индексов важен для умножения матриц. Но в общей теории относительности это уже учтено в индексных обозначениях посредством соглашения Эйнштейна о суммировании. Я не припомню ни одного из моих предпочтительных текстов для гтп с использованием транспонирования, но должен признаться, что если бы автор действительно использовал это, я думаю, что быстро нашел бы другого автора.

Шрей · Answer 4

После очень полезного обсуждения в разделе комментариев и чтения ответов я подумал, что напечатаю (с моей точки зрения) то, что я узнал, на случай, если это поможет кому-то с тем же вопросом.

(Λ^{Т})^{σ}_{ρ} знак равно Λ_{ρ}^{σ} знак равно (Λ^{- 1})^{σ}_{ρ}

$({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho} = \Lambda_{\rho}{}^{\sigma} = ({\Lambda^{-1}})^{\sigma}{}_{\rho}$

на самом деле правильное утверждение, но мы должны быть осторожны при преобразовании его обратно в матричное уравнение.

Мы должны интерпретировать $\Lambda$ в виде $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ , $\Lambda^{-1}$ в виде $({\Lambda^{-1}})^{\mu}{}_{\nu}$ , но $\Lambda^T$ следует интерпретировать как $(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ .

Следовательно, мы не можем интерпретировать $({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho}$ в виде $\Lambda^T$ поэтому уравнение D неверно. Вместо этого, используя метрику, $({\Lambda^{T}})^{\sigma}{}_{\rho} = \eta^{\sigma \alpha} (\Lambda^T)_{\alpha}{}^{\beta} \eta_{\beta \rho}$ . Итак, вместо матричного уравнения D мы действительно должны иметь:

Λ^{- 1} знак равно η Λ^{Т} η

$\Lambda^{-1} = \eta \Lambda^T \eta$

Почему не может $(\Lambda^T)^\mu{}_\nu$ интерпретироваться как компоненты $\Lambda^T$ ? Для меня совершенно очевидно, что $\Lambda^T = (\Lambda^T)^\mu{}_\nu \textbf{e}_\mu \otimes \varphi^\nu$ где $\textbf{e}_\mu$ являются базисными векторами и $\varphi^\mu$ являются базисными ковекторами.

Больше не дышал · Answer 5

Проблема здесь в том, что ваше определение (1) неверно, если метрика не соответствует вашим координатам. Единственный правильный способ повышения / понижения индексов - это сокращение от метрики.

Простое доказательство того, что ваше определение не может быть правильным: предположим, что наша метрика $\def\d{{\rm d}}\d s^2={\d x^2\over4}-\d v^2$ , и $\Lambda_\mu{}^\sigma=\begin{bmatrix}5\over4&3\over2\\3\over8&5\over4\end{bmatrix}$ .

Тогда ваше определение дает $\Lambda^\mu{}_\sigma=\begin{bmatrix}5\over4&3\over8\\3\over2&5\over4\end{bmatrix}$ , а мой дает $\Lambda^\mu{}_\sigma=\begin{bmatrix}5\over4&-{3\over2}\\-{3\over8}&5\over4\end{bmatrix}$ .

Тогда, если вы используете свое определение для оценки $\Lambda^\rho{}_\mu\eta_{\rho\sigma}\Lambda^\sigma{}_\nu$ , ты получаешь $\begin{bmatrix}-{119\over64}&-{225\over128}\\-{225\over128}&-{391\over256}\end{bmatrix}$ ; если вы воспользуетесь моим, вы получите $\begin{bmatrix}1\over4&0\\0&-1\end{bmatrix}$ .

Обратное и транспонированное преобразование Лоренца.

Шрей

Шрей

Шрей

Прахар

Шрей

Прахар

Шрей

Прахар

Шрей

Шрей

Привет пока

Ответы (5)

Qmechanic

Шрей

Шрей

Шрей

Шрей

Qmechanic

user26872

Шрей

user26872

Чарльз Фрэнсис

Шрей

Коута Дагнино

Больше не дышал

Как работает 4-векторная запись?

Тензорный индекс в специальной теории относительности?

Что означает сокращение индексов матрицы Лоренца?

Почему (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Работа с индексами тензоров в специальной теории относительности

Повышение и понижение индексов символов Леви-Чивиты (+---) метрики?

Обозначение индекса Матрица преобразования Лоренца

Обозначение индекса и метрика Минковского

Если ΛΛ\Lambda не является тензором, то в чем смысл Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} и ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} и т. д.?

Матрицы и тензоры (пример в специальной теории относительности)