Что означает сокращение индексов матрицы Лоренца?

Обратите внимание, что$\Lambda$не является тензором. Это матрица коэффициентов трансформации.

Тензор корректно определен при отсутствии какого-либо указанного фрейма, и его компоненты могут быть определены в том или ином фрейме. Преобразование Лоренца, напротив, используется для расчета того, как компоненты тензора изменяются от одного кадра к другому.

Сжатие одного верхнего и одного нижнего индексов тензора второго ранга дает тензор нулевого ранга, то есть инвариантный скаляр. Сжатие одного восходящего и одного нисходящего индекса для нетензора, такого как$\Lambda^a_{\; b}$даст какой-то математический результат, но не гарантируется, что это будет величина, представляющая какой-либо особый интерес. Точно так же комбинация метрики с$\Lambda^a_{\; b}$можно использовать для получения количества со всеми индексами вниз, но это не тензор, и лучше не играть в эту индексную гимнастику с нетензорами. Просто позволь$\Lambda^a_{\; b}$быть тем, что есть.

Для тензора второго ранга понижение первого индекса соответствует предварительному умножению на метрику в матричном языке; понижение второго индекса соответствует постумножению на метрику. Операция транспонирования соответствует изменению порядка индексов (обратите внимание, без их перемещения вверх или вниз). Например

$$\Lambda^a_{\; \mu} \Lambda^b_{\; \nu} F^{\mu\nu} = \Lambda^a_{\; \mu} F^{\mu\nu} \Lambda^b_{\; \nu} = \Lambda^a_{\; \mu} F^{\mu\nu} (\Lambda^{\! \rm T})^{\;\; b}_{\nu}$$ и в матричной записи эту комбинацию можно записать $$\Lambda F \Lambda^{\! \rm T}$$

Сначала краткое введение в тензоры. Ан$(r,s)$тензор$t$на$K$-векторное пространство$V$это просто мультилинейная карта из$s$копии$V$и$r$копии двойственного векторного пространства$V^*$к основному полю$K$:

$$t:\underbrace{V^*\times...\times V^*}_{r-times}\times\underbrace{V\times...\times V}_{s-times}\to K$$ Двойственное векторное пространство — это просто набор всех линейных отображений из$V$к$K$. Набор всех$(r,s)$тензоры на$V$обычно обозначается$T^r_s(V)$.

Хорошо, как нам перейти от этих векторов и линейных карт к этим числам$g_{\mu\nu}$с которым мы работаем?

Итак, мы делаем то, что всегда делаем интуитивно, а именно выбираем основу. Скажем, мы выбрали некоторую основу$\{e_i\}\subset V$в нашем векторном пространстве теперь мы можем выразить каждый вектор$v\in V$как линейную комбинацию этих базисных векторов:$v=v^ie_i$. $v^i\in K$в основном являются числами, и положение индекса до сих пор является просто условным. Теперь мы можем сделать то же самое для двойственного векторного пространства с особенно умным выбором базиса.$\{e^i\}\subset V^*$, такой, что$e^{i}(e_j)=\delta^i_j$. Опять же, положение индекса просто условно, чтобы не путать векторы и дуальные векторы, ведь это принципиально разные объекты!

С этим соглашением об индексах мы теперь запишем компоненты вектора как$v^i$и двойственного вектора как$v_i$.

Для тензоров это очень похоже:

$$t(w_k^{(1)}e^k,...,w_l^{(r)}e^l,v^i_{(1)}e_i,...,v^j_{(s)}e_j)=w_k^{(1)}...w_l^{(r)}v^i_{(1)}...v^j_{(s)}t(e^k,...,e^l,e_i,...,e_j)$$ The $t(e^k,...,e^l,e_i,...,e_j)\equiv t^{k...l}_{i...j}$снова просто числа, не зависящие от того, на какие векторы и ковекторы действует тензор (просто выбранный нами базис). Аналогично векторам и ковекторам, мы также можем выразить тензор через его компоненты: $$t = t^{k...l}_{i...j}e_k\otimes...\otimes e_l\otimes e^i\otimes...\otimes e^j$$

Итак, что происходит, когда мы выбираем другую основу$\{b_i\}\subset V$и соответствующий двойственный базис$\{b^i\}\subset V^*$? Поскольку наши новые базисные векторы (и новые базисные ковекторы) по-прежнему являются элементами одного и того же базового (дуального) векторного пространства, мы можем выразить их в виде некоторой линейной комбинации:

$$b_i = A_i^je_j \qquad \text{and} \qquad b^i=B^i_je^j$$ Как и выше, мы можем просмотреть числа$A_i^j$и$B^i_j$как компоненты тензора: $$A=A_i^je_j\otimes b^i \qquad \text{and} \qquad B=B^i_jb_i\otimes e^j$$ примечание : в физике мы обычно не рассматриваем эти преобразования как тензоры, однако я думаю, что это весьма полезно для нашего обсуждения здесь. Для получения дополнительной информации см., например, ( Является ли преобразование Лоренца тензором? )

Теперь, наконец, что на самом деле означает сжатие двух тензоров? Тензорные сокращения на самом деле просто определены для отдельного тензора и являются линейными картами.$C^k_l:T^r_s(V)\to T^{r-1}_{s-1}(V)$определяется:

$$T^{\nu_1...\nu_r}_{\mu_1...\mu_s}e_{\nu_1}\otimes...\otimes e_{\nu_r}\otimes e^{\mu_1}\otimes...\otimes e^{\mu_s}\\ \mapsto T^{\nu_1...\nu_r}_{\mu_1...\mu_s} e^{\mu_l}(e_{\nu_k}) e_{\nu_1}\otimes...\otimes e_{\nu_{l-1}}\otimes e_{\nu_{l+1}}\otimes...\otimes e_{\nu_r}\otimes e^{\mu_1}\otimes...\otimes e^{\mu_{k-1}}\otimes e^{\mu_{k+1}}\otimes...\otimes e^{\mu_s})$$ Но это не проблема, так как мы можем сделать один тензор из двух, используя тензорное произведение. В вашем конкретном случае у нас есть "тензор"$\Lambda=\Lambda^{\nu}_{\mu}e_{\nu}\otimes b^{\mu}$и тензор$\eta=\eta_{\mu\nu}e^{\mu}\otimes e^{\nu}$: $$\eta\otimes\Lambda = \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\alpha}_{\beta}e^{\mu}\otimes e^{\nu}\otimes e_{\alpha}\otimes b^{\beta}$$ и $$C^{\alpha}_{\nu}(\eta\otimes\Lambda)=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\alpha}_{\beta}e^{\nu}(e_{\alpha})e^{\mu}\otimes b^{\beta} = \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\nu}_{\beta}e^{\mu}\otimes b^{\beta}\equiv \Lambda_{\mu\beta} e^{\mu}\otimes b^{\beta}$$ В ОТО (и СТО) пространство-время есть лоренцево многообразие$L$, интересующее нас векторное пространство — это касательное пространство$T_pL$в какой-то момент$p\in L$и тензоры, которые вы рассматриваете, имеют особое значение, однако (как всегда) математика не слишком заботится о физике.

Мне потребовалось довольно много времени, чтобы добраться до начала класса релятивизма, но это может помочь: общее умножение матриц, как мы все знаем, выглядит так:

$$[A][B] = \sum a_{ri}b_{ir}$$ Теперь версия теории относительности с эйнштейновским соглашением о суммировании сделает это матричное умножение следующим образом: $$[A][B] = a_{\nu\sigma}b^{\sigma\nu}$$ Как вы видите, это то же самое, что и предыдущее выражение, только с отброшенным символом суммирования, и, таким образом, с первым индексом, представляющим строку, а вторым — столбцом. Теперь, возможно, есть люди, у которых есть объяснение того, чем тензор (2,0) (то есть «ковариантный») отличается от тензора (0,2) (то есть «контравариантный»), однако я просто держу правило в голове. что вы можете сжимать ковариант только с контравариантными индексами и, таким образом, применять метрику формы$g_{\mu \mu}$($g^{\mu \mu}$) при необходимости снижения (повышения) индексов. Чтобы получить форму матриц, необходимо преобразовать тензор обратно в матричную форму, сжав его с метрикой. Я буду использовать метрику Минковского$\eta$здесь для демонстрации. Это возвращает нас к вашему вопросу, ваше уравнение может быть записано как: $$\Lambda_{\sigma\alpha}\eta^{\mu \sigma}\Lambda^{\nu\sigma}\eta_{\beta\sigma}\eta_{\mu\nu} = \Lambda_{\sigma\alpha}\eta_{\beta\sigma}\Lambda^{\nu\sigma}\delta^{\sigma}_{\nu} = \Lambda_{\nu\alpha}\eta_{\beta\sigma}\Lambda^{\nu\sigma} \stackrel{\nu \leftrightarrow \beta}{=} [\Lambda]\cdot[\eta]\cdot[\Lambda]^T$$ Где я использовал тот факт, что $$\eta^{\mu\sigma}\eta_{\beta\sigma} = \delta^{\mu}_{\sigma}$$ И просто базовое повышение и понижение индексов через: $$\Lambda^{\mu}_{\;\alpha} = \Lambda_{\sigma\alpha}\eta^{\mu \sigma} \text{ and } \Lambda_{\mu}^{\;\alpha} = \Lambda^{\sigma\alpha}\eta_{\mu \sigma}$$

Я мог где-то сделать ошибку в индексе, но я надеюсь, что это даст некоторое понимание, и я надеюсь, что это поможет.