Когда гамильтониан системы не равен ее полной энергии?

В идеальной, голономной и моногенной системе (обычной в классической механике) гамильтониан равен полной энергии тогда и только тогда, когда и связь, и лагранжиан не зависят от времени, а обобщенный потенциал отсутствует.

Таким образом, условие равенства энергии гамильтониана является довольно жестким. В примере Дэна лагранжиан зависит от времени. Более частым примером может служить гамильтониан для заряженных частиц в электромагнитном поле.

$$H=\frac{\left(\vec{P}-q\vec{A}\right)^2}{2m}+q\varphi$$ Первая часть равна кинетической энергии ( $\vec{P}$канонический, а не механический импульс), но вторая часть НЕ обязательно ЯВЛЯЕТСЯ потенциальной энергией, как вообще $\varphi$может быть изменен произвольно с помощью манометра.

Гамильтониан, вообще говоря, не равен энергии, когда координаты явно зависят от времени. Например, мы можем взять систему бусины массы$m$ограничено круговым кольцом радиуса$R$. Если мы определим$0$для угла$\theta$быть низом кольца, лагранжиан

$$L=\frac{mR^2\dot{\theta}^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta)}).$$ Сопряженный импульс $$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}.$$ И гамильтониан $$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+mgR(1-\cos{\theta}),$$ что равно энергии.

Однако , если мы определим$0$чтобы тета двигалась по кольцу с угловой скоростью$\omega$, то лагранжиан

$$L=\frac{mR^2(\dot{\theta}-\omega)^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta-\omega t)}).$$

Сопряженный импульс

$$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}-mR^2 \omega.$$

И гамильтониан

$$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+p_{\theta}\omega+mgR(1-\cos(\theta-\omega t)),$$ которая не равна энергии (в пересчете на$\dot{\theta}$имеет явную зависимость от$\omega$).

Классическая механика Гольдштейна (2-е изд.), стр. 349, в разделе 8.2 о циклических координатах и ​​теоремах сохранения есть хорошее обсуждение этого вопроса. По его словам:

The identification of H as a constant of the motion and as the total energy 
are two separate matters.  The conditions sufficient for one are not 
enough for the other.  

Затем он приводит пример одномерной системы, в которой он выбирает две разные обобщенные системы координат. Для первого выбора H — это полная энергия, тогда как для второго варианта H оказывается просто сохраняющейся величиной, а НЕ полной энергией системы.

Проверьте это. Это очень хороший пример.

Немного сложным, но интересным является лагранжиан затухающего гармонического осциллятора (лагранжиан Гаваса [1]):

$$L = \frac{2m\dot{x} +kx}{x\sqrt{4mK-k^2}}\tan^{-1}\left(\frac{2m\dot{x} + kx}{x\sqrt{4mK -k^2}} \right) -$$ $$- \frac{1}{2}\ln (m\dot{x}^2 + kx\dot{x} + Kx^2)$$

Лагранжиан не зависит от времени, поэтому соответствующий гамильтониан Гаваса сохраняется. Поскольку полная энергия затухающего гармонического осциллятора со временем уменьшается,$H$не может быть полной энергией.

[1] Хавас П., Область применения формализма Лагранжа - I, Nuovo Cim. 5 (прил.), 363 (1957)

На стр. 60-64 Гольдштейн, Пул и Сафко (3-е издание) приводится действительно хороший вывод и описание функции энергии. В сносках говорится, что это эквивалентно гамильтониану (просто не в правильных обобщенных координатах для гамильтониана). Если эта функция получена из склерономной (уравнения связей не зависят от времени) и нет$\dot{q}$зависимости от потенциальной энергии, то можно показать, что h=T+V. Эти условия гарантируют, что T является однородным 2-й степени в соответствии с теоремой Эйлера, и это условие, которое позволяет преобразовать в T + V.

Все это очень хорошо показано у Гольдштейна.

Гамильтониан системы эквивалентен полной энергии системы тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Имейте в виду, что гамильтониан$Legendre$ $Transformation$принадлежащий$Lagrangian$, необходимо рассмотреть структуру$Lagrangian$, чтобы определить$Hamiltonian$системы.

$1.$Лагранжиан:$L$, должен иметь вид,$L$знак равно$T$-$V$), и для того, чтобы иметь это, мы должны рассмотреть$d'Alembert's Principle$, который дает:

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}{(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}) - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}q_i} = Q_j}{ ...... (\alpha)}$$

Где это$Q_j$– обобщенная составляющая силы для$j$-я обобщенная координата, которая представляет собой силы связи.

Ясно, для:

Ограничения движения явно зависят от времени (сила, действующая на систему, может иметь явную зависимость от времени), это другое, но для очень общих целей, когда сила (силы), действующие на систему, могут быть непосредственно получены из ее соответствующего масштабирующего потенциала, т.е. за

Консервативное силовое поле, мы можем написать,

$$Q_j = F_j = -\nabla_j (V)$$ , т.е. масштабирующий потенциал, и упрощение$(\alpha)$, мы получаем$L = (T-V)$

$Note$ $that$: В случаях наличия векторного потенциала, как и для ЭМ поля, есть другой случай явной временной зависимости, когда поля зависят от времени, что составляет другой аспект, т.е. для переменного во времени потенциала мы не можем явно записать$Lagrangian$в том моде. Но$Hamiltonian$образованная таким образом, по-прежнему будет удовлетворять требованиям, предъявляемым к полной энергии системы.

Теперь мы можем заключить, что для зависящих от времени ограничений движения мы не можем сказать, что$Hamiltonian$эквивалентно$Total$ $Energy$системы.