Построение лагранжиана из гамильтониана

Да, существует преобразование Лежандра из$g(p)$к$f(x)$:

$$f(x)=p(x)x-g(p(x))$$ с $x=dg/dp$. Здесь обозначение $p(x)$означает $p$написано с точки зрения $x$. В вашем случае гамильтониан является функцией $p$и вы преобразуете его в функцию $\dot{q}$, поэтому вы должны использовать уравнение Гамильтона, чтобы получить скорость: $$\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$$ который вы затем решаете для $p$(так что это функция $\dot{q}$, например $p=h(\dot{q})$). Тогда у вас есть лагранжиан как $$L(q,\dot{q})=\dot{q}_ih(\dot{q}_i)-H(q,h(\dot{q}))$$

Для (релятивистского ) гамильтониана ¹

$$H(q,p)=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}+V(q)$$ импульс должен быть $$p(\dot{q})=\frac{m\dot{q}}{\sqrt{1-\dot{q}^2/c^2}}$$ который был рассчитан с использованием $\dot{q}=\partial H/\partial p$а затем инвертировать, чтобы получить $p$с точки зрения $\dot{q}$. Вы должны убедиться, что это правильно (но это верно для релятивистского импульса, $p=\gamma mv$). Тогда вы можете просто сделать замену и получить свой лагранжиан.

^{1. Этот конкретный гамильтониан был включен в версию 2 этого вопроса, но с тех пор был удален; поскольку он по-прежнему служит примером$H\to L$трансформировать, я сохранил его.}

Прежде всего, гамильтониан содержит координаты$q_i$и их импульсы$p_i$. Вам нужно рассчитать скорость$\dot{q}_i$. Для этого вам понадобятся уравнения Гамильтона-Якоби

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ Преобразование Лежандра, как отмечено в комментариях, является инволютивным, поэтому лагранжиан - это просто преобразование Лежандра гамильтониана. $$L = \sum_i p_i \dot{q}_i - H$$ где нужно везде импульсы выражать через скорости.

Разработанный пример: гармонический осциллятор. Известный гамильтониан

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$ Из уравнения Гамильтона-Якоби мы получаем (что неудивительно), что $$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ И подключите его к преобразованию Лежандра $$L = \dot{q}p - H = \dot{q}(\dot{q} m) - \frac{(\dot{q}m)^2}{2m} - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = \frac{1}{2}m \dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$ Который действительно является лагранжианом для гармонического осциллятора.

Подавим явную зависимость от времени$t$из обозначений в дальнейшем. уравнения Гамильтона. уравнения Эйлера-Лагранжа (EL). для так называемого гамильтонова лагранжиана

$$\tag{1} L_H(q,\dot{q},p)~:=~ p_i\dot{q}^i-H(q,p).$$

Другими словами, решения уравнений Гамильтона. стационарные точки для гамильтонова действия

$$\tag{2} S_H[q,p]~:=~\int \! dt~L_H(q,\dot{q},p).$$

Затем определим лагранжиан как

$$\tag{3} L(q,\dot{q})~:=~\sup_p L_H(q,\dot{q},p).$$

Формула (3) является кратким ответом на вопрос ОП о том, как построить лагранжиан из гамильтониана.

Преобразование Лежандра (3) часто называют интегрированием$^1$переменные импульса$p_i$. Тогда действие (2) принимает вид

$$\tag{4} S[q]~:=~\int \! dt~L(q,\dot{q}).$$

Стационарные точки действия (4) задаются уравнениями ЭЛ. для$L$.

--

$^1$Если мы выйдем за рамки классической механики и рассмотрим формулировку интеграла по путям в фазовом пространстве, то «интегрирование импульса» — это именно то, что происходит.