Характеристические и главные функции Гамильтона и отделимость

Question

Характеристические и главные функции Гамильтона и отделимость

АнгусЧеловек

Просто надеюсь на некоторую ясность относительно характеристической функции Гамильтона. $W$ . Когда мы берем гамильтониан, не зависящий от времени, мы можем отделить главную функцию $S$ вверх в характеристическую функцию минус $ht$ , да, я знаю, что это преобразование Лежандра, но,

Вт "=" С + час т

$\begin{equation} W=S+ht \end{equation}$

Мейрович в своих «Методах аналитической динамики», стр. 356, дает $h$ как функция энергии Якоби $h$ как определено в предыдущих главах как в его текстах, так и в текстах Гольдштейна.

Это единственный раз, когда я видел, как его называют $h$ а не гамильтониан. Мне просто интересно, читал ли кто-нибудь его и, возможно, заметил что-то другое в определении Мейровича, что ускользнуло от меня. Вместо этого большинство авторов определяют эти константы интегрирования как гамильтониан. Я знаю, что разница тонкая, но интересно, почему он выбрал $h$ нет $H$ ! Это зависит только от того, как вы выражаете сопряженные импульсы?

Ответы (1)

Характеристические и главные функции Гамильтона и отделимость

Qмеханик · Answer 1

I) Характеристическая функция Гамильтона $W(q,\alpha)$ обычно определяется только для систем без явной зависимости от времени, ср. исх. 1 и 2. Это означает, что гамильтониан $H(q,p)$ есть постоянная движения. Постоянная движения обычно представляет собой энергию системы и часто обозначается буквой $E$ . Ссылка 1 вместо этого используется символ $\alpha_1$ , в то время как исх. 2 использует букву $h$ .

II) Для систем без явной временной зависимости уравнение Гамильтона – Якоби (ГЯ) имеет вид

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} - \frac{\partial С (д, α, т)}{\partial т} \overset{HJ-экв.}{"="} & ЧАС (д, \frac{\partial С (д, α, т)}{\partial д}) \\ "=" & α_{1} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial t} ~\stackrel{\text{HJ-eq.}}{=}&~ H\left(q,\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial q}\right)\cr~=~& \alpha_1.\end{align}\tag{1}$

Поэтому можно рассматривать характеристическую функцию Гамильтона $W(q,\alpha)$ как $\alpha_1 \leftrightarrow t$ Преобразование Лежандра главной функции Гамильтона $S(q,\alpha,t)$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} Вт (д, α) "=" & С (д, α, т) + α_{1} т \\ \overset{(1)}{"="} & С (д, α, т) - т \frac{\partial С (д, α, т)}{\partial т} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} W(q,\alpha)~=~&S(q,\alpha,t)+\alpha_1 t\cr ~\stackrel{(1)}{=}~& S(q,\alpha,t) - t\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial t}.\end{align} \tag{2}$

III) Вышеуказанное представляет собой состав на оболочке. Похожая история есть и в оффлайне. (Слова «на-оболочке» и «вне оболочки» относятся к тому, удовлетворяются ли EOM или нет.) Давайте для определенности предположим граничные условия Дирихле

\begin{matrix} (3) & д (т_{я}) "=" д_{я} и д (т_{ф}) "=" д_{ф} зафиксированный . \end{matrix}

$q(t_i)~=~q_i \quad\text{and}\quad q(t_f)~=~q_f \quad\text{fixed}.\tag{3}$

Хотя OP, кажется, полностью осознает это, давайте подчеркнем, что основная функция Гамильтона $S(q,\alpha,t)$ не следует путать с функционалом действия (вне оболочки)

\begin{matrix} (4) & я [д; т_{ф}, т_{я}] "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} л (д, \dot{д}, т) г т, \end{matrix}

$I[q; t_f,t_i]~:=~ \int_{t_i}^{t_f} L(q,\dot{q},t) ~\mathrm{d}t,\tag{4}$

ни функция действия (Дирихле) на оболочке $S(q_f, t_f; q_i, t_i)$ . Для получения дополнительной информации о взаимосвязи и различиях между $S(q,\alpha,t)$ , $S(q_f, t_f; q_i, t_i)$ , и $I[q; t_i,t_f]$ , см., например, мои ответы Phys.SE здесь и здесь .

Подчеркнем для дальнейшего сравнения, что в принципе стационарного действия мы ограничиваемся виртуальными путями с постоянным и одним и тем же фиксированным начальным временем $t_i$ . Точно так же в последний раз $t_f$ .

IV) Аналогично, характеристическая функция Гамильтона $W(q,\alpha)$ не следует путать с сокращенным функционалом действия (вне оболочки) $A[q, E]$ , ни функция сокращенного действия (Дирихле) на оболочке $W(q_f, q_i, E)$ . Сокращенный функционал действия $A[q, E]$ обычно определяется только в случае отсутствия явной зависимости от времени, ср. исх. 1 и 2. В этом случае функция действия (Дирихле) на оболочке

\begin{matrix} (5) & С (д_{ф}, д_{я}, Т) "=" С (д_{ф}, т_{ф}; д_{я}, т_{я}) \end{matrix}

$S(q_f, q_i, T) ~=~S(q_f, t_f; q_i, t_i)\tag{5}$

зависит только от разницы во времени $T:=t_f-t_i$ . Можно показать, что

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial С (д_{ф}, д_{я}, Т)}{\partial Т} "=" - Е . \end{matrix}

$\frac{\partial S(q_f, q_i, T)}{\partial T}~=~-E.\tag{6}$

Для доказательства ур. (6), см., например, мой ответ Phys.SE здесь .

Сокращенный функционал действия (вне оболочки) $A[q, E]$ можно определить как энергию $\leftrightarrow$ временное преобразование типа Лежандра

\begin{matrix} (7) & А [д; Е, т_{ф}, т_{я}] "=" я [д; т_{ф}, т_{я}] + Е (т_{ф} - т_{я}) \end{matrix}

$A[q; E, t_f, t_i] ~=~ I[q; t_f,t_i] + E (t_f-t_i) \tag{7}$

функционала действия (вне оболочки) $I[q; t_f,t_i]$ .

В принципе Мопертюи мы ограничиваемся виртуальными путями с постоянной и одной и той же фиксированной энергией. $E$ но со свободным конечным временем $t_i$ и $t_f$ . Тогда формула (7) становится равной

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} А [д; Е, т_{ф}, т_{я}] "=" & \int_{т_{я}}^{т_{ф}} п \dot{д} г т, \\ п "=" & \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} A[q; E, t_f, t_i]~=~& \int_{t_i}^{t_f} p\dot{q} ~\mathrm{d}t, \cr p~:=~&\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.\end{align}\tag{8}$

Как следствие, сокращенное действие (Дирихле) на оболочке

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} Вт (д_{ф}, д_{я}, Е) "=" & С (д_{ф}, д_{я}, Т) + Е Т \\ \overset{(6)}{"="} & С (д_{ф}, д_{я}, Т) - Т \frac{\partial С (д_{ф}, д_{я}, Т)}{\partial Т} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} W(q_f, q_i, E) ~=~& S(q_f, q_i, T) + E T\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& S(q_f, q_i, T) - T\frac{\partial S(q_f, q_i, T)}{\partial T}\end{align} \tag{9}$

становится $E\leftrightarrow T$ Преобразование Лежандра функции действия (Дирихле) на оболочке $S(q_f, q_i, T)$ .

Использованная литература:

Г. Гольдштейн, Классическая механика.
Л. Мейрович, Методы аналитической динамики.

Большое спасибо, теперь я это понимаю! думая об этом, не имеет смысла отождествлять характеристическую ФУНКЦИЮ с ФУНКЦИОНАЛОМ Мопертюи. Я думаю, мне понадобится немного времени, чтобы проработать ваш ответ, и я вернусь, если возникнут какие-либо вопросы! ваше здоровье

Характеристические и главные функции Гамильтона и отделимость

АнгусЧеловек

Ответы (1)

Qмеханик

АнгусЧеловек

Когда гамильтониан равен энергии системы?

Теория Гамильтона-Якоби: Дифференциация относительно. постоянная ЭЭЭ?

Общая форма для кинетической энергии с учетом потенциала, не зависящего от скорости, такого, что H=EH=E\mathcal{H}=E

Когда гамильтониан и полная энергия совпадают

Гамильтониан сохраняется, но не является полной механической энергией

Когда гамильтониан системы не равен ее полной энергии?

Пример, где гамильтониан H≠T+V=EH≠T+V=EH \neq T+V=E, но сохраняется E=T+VE=T+VE=T+V

Разница между гамильтонианом в классической механике и в квантовой механике

Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

Сохранение гамильтониана против сохранения энергии