Общая процедура для разложений Клебша-Гордана

Коэффициенты Клебша-Гордана появляются в теории представлений группы [Ли] вращений.$SO(3)$[и его основное покрытие$SU(2)$]. При выражении тензорного произведения двух неприводимых представлений этой группы [само по себе являющееся приводимым представлением ] в виде прямой суммы неприводимых представлений нормированными коэффициентами разложения являются коэффициенты Клебша-Гордана. Они выражают кратность каждого неприводимого представления в разложении.

Коэффициенты Клебша-Гордана сами по себе ортонормированы с соотношением ортонормированности

$\sum_{|m_1|\leq j_1,|m_2| \leq j_2} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m) C(j_1,j_2,m_1,m_2|j',m')= \delta_{j,j'} \delta_{m,m'}$ $\sum_{j=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{|m|\leq j} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m) C(j_1,j_2,m_1',m_2'|j,m)= \delta_{m_1,m_1'} \delta_{m_2,m_2'}$

и, как указано выше, появляются при разложении приводимых представлений на суммы неприводимых представлений. С точки зрения состояний углового момента

$|j_1,m_1 \rangle \bigotimes|j_2,m_2\rangle=\sum_{j,m} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m)|j,m\rangle$

где$C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m)=\langle j,m|j_1,j_2,m_1,m_2\rangle$

Коэффициенты Клебша-Гордана появляются также в разложении произведения двух сферических гармоник по самим сферическим гармоникам. Вывод формулы немного громоздкий и результат выглядит так

$Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\varphi)=\sum_{l,m} \ \sqrt{\dfrac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4 \pi(2l+1)}} \\ \times C(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)C(l_1,l_2,0,0|l,m)Y_{l}^m(\theta,\varphi)$

Они также связаны с другими более сложными структурами, такими как символы Вигнера 3-j или коэффициенты Рака .

Кроме того, я могу добавить, что для них существует закрытая формула в$3$размеры (выведенные Раком) и что эта формула не известна для произвольных размеров.