Коэффициенты Клебша-Гордана необходимое и достаточное условие, чтобы быть ненулевым

Коэффициент Клебша-Гордана может быть равен нулю, даже если эти условия выполнены. Например*, используя обозначения$|J, M\rangle$и$|J_1, m_1, \, J_2, m_2 \rangle$:

_{* В основном я искал нулевую запись в таблице 4.7 книги Дэвида Дж. Гриффитса «Введение в квантовую механику», 2-е издание.}

Приведенный выше пример Клебша-Гордана$\langle 2,0|2,0,1,0\rangle$не является случайным или нетривиальным нулем! Это результат известных правил отбора. Это соответствует 3-$j$случай (обозначение Mathematica)

ThreeJSymbol[{2, 0}, {1, 0}, {2, 0}]

и равен нулю, потому что сумма трех первых трех$j$, т.е.$2+1+2$, даже не так, как требуется (см. формулу для вычисления ThreeJSymbol[{j1, 0}, {j2, 0}, {j3, 0}]в любой книге по 3-$j$символы).

Реальным примером случайного нуля является случай

ThreeJSymbol[{3, 2}, {3, -2}, {2, 0}] = 0

который, как видно, подчиняется$j_1+j_2+j_3 = \mathrm{even}$($3+3+2=8$) Правило выбора, но все равно ноль!

Кажется, что таких случайных нулей существует бесконечное множество — см. ссылку ниже, т. е. статью Heim et al 1992 .

Тема «случайных» нулей коэффициентов Клебша-Гордана до сих пор актуальна. См. эту статью как пример попыток классифицировать эти нетривиальные нули.