Объединение электрослабой теории

сломать действительно можно$SU(3)$к$SU(2) \times U(1)$. Чтобы увидеть это, нам нужно проверить, что$SU(2)$и$U(1)$являются подгруппами$SU(3)$. Это легко увидеть$SU(2)$является подгруппой, поскольку первые три матрицы Геллмана задаются формулой

$$\begin{equation} \lambda _i = \left( \begin{array}{cc} \sigma _i & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \quad (i = 1 ,2,3) \end{equation}$$ а поскольку это всего лишь матрицы Паули, мы знаем, что они образуют группу. Кроме того, также хорошо известно, что существует другая матрица Геллмана, которая коммутирует с этими $3$, $$\begin{equation} \lambda _8 \equiv \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array} \right) \end{equation}$$

Сломать$SU(3)$в эту подгруппу нужно использовать скаляр в присоединенном (матричном) представлении. Этот выбор будет работать до тех пор, пока VEV скаляра коммутирует с подгруппами. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим кинетический член для скаляра,

$$\begin{equation} \mbox{Tr} D ^\mu \Phi ^\dagger D _\mu \Phi = \mbox{Tr} [ \Phi , T ^a ] [ \Phi , T ^b ] A _\mu ^a A ^{ b , \mu } + ... \end{equation}$$ где с тех пор $\Phi$находится в присоединенном представлении, которое у нас есть, $D _\mu \Phi = \partial _\mu \Phi - i A ^a _\mu \left[ \Phi , T ^a \right]$( $T ^a$являются генераторами групп и $A ^a$— векторное поле). Мы видим, что если $\Phi$получает ВЭВ при условии, что векторное поле, $A _\mu ^a$оставаться безмассовым, что $T ^a$ездить на ВЭВ. Если калибровочный бозон остается безмассовым, то его калибровочная симметрия сохраняется.

Имея это в виду, все, что нам нужно сделать, это выбрать VEV ​​для скаляра, коммутирующего с нашей подгруппой. Это будет иметь место для VEV,

$$\begin{equation} \left\langle \Phi \right\rangle = v \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array} \right) \end{equation}$$

Обратите внимание, что хотя можно произвести$SU(3) \rightarrow SU(2) \times U(1)$таким образом, этого недостаточно, чтобы воспроизвести феноменологию СМ. Для этого нужно было бы вписать СМ в мультиплеты$SU(3)$чего нельзя было сделать без введения новых полей. Для более подробного обсуждения этого вопроса или любого из вышеперечисленного я призываю вас взглянуть на трактовку великого объединения.