Одноконтурные RGE Юкавы

Question

Одноконтурные RGE Юкавы

Джек

В настоящее время я пытаюсь понять, как можно написать одноконтурные RGE для муфт Юкавы, используя общую формулу :

Один пример, который меня интересует, это то, как автор выводит, используя эту формулу и начиная с лагранжиана Юаква в уравнении. 4.1 RGE в уравнении. 4.2 и уравнение. 4.3 .

Другой пример, начинающийся с :

«Между шкалой великого объединения и промежуточной шкалой эффективное взаимодействие Юкавы определяется выражением

- л_{Д} "=" \sum_{я, Дж} (Д_{Ф я Дж}^{(10)} Ф_{л}^{я Т} Φ Ф_{р}^{Дж} + Д_{Ф я Дж}^{(126)} Ф_{л}^{я Т} Σ Ф_{р}^{Дж} + Д_{р я Дж}^{(126)} Ф_{р}^{я Т} \bar{Δ_{р}} Ф_{р}^{Дж} + час . с .),

$\begin{equation} -{\mathcal L}_{Y} =\sum_{i,j}\left( Y^{(10)}_{F\,ij}F_L^{iT}\Phi F_R^{j} +Y^{(126)}_{F\,ij}F_L^{iT}\Sigma F_R^{j} +Y^{(126)}_{R\,ij}F_R^{iT}\overline{\Delta_R} F_R^{j}+h.c.\right), \end{equation}$ где

F_{L}

$F_L$ и

F_{R}

$F_R$ обозначать

(2, 1, 4)

$\bf{(2,1,4)}$ и

(1, 2, \bar{4})

$\bf{(1,2,{\overline{4}})}$ в

Ψ^{i}

$\Psi^{i}$ , под

G_{224} \equiv S U (2)_{L} \times S U (2)_{R} \times S U (4)_{C}

$G_{224} \equiv SU(2)_L \times SU(2)_R \times SU(4)_C$ , соответственно. А также,

Φ

$\Phi$ ,

Σ

$\Sigma$ и

\bar{Δ_{R}}

$\overline{\Delta_R}$ соответствовать

(2, 2, 1)

$\bf{(2, 2, 1)}$ в

H

$H$ ,

(2, 2, 15)

$\bf{(2, 2, 15)}$ и

(1, 3, \bar{10})

$\bf{(1, 3, \overline{10})}$ в

\bar{Δ}

$\overline{\Delta}$ , соответственно."

Как я могу вывести это:

«... RGE с одним контуром для эффективных соединений Юкавы, сначала в области энергии между масштабом великого объединения и промежуточной продажей, определяются следующим образом:

\begin{array}{rcl} 16 π^{2} \frac{г Д_{Ф}^{(10)}}{г т} & "=" & (Д_{Ф}^{(10)} Д_{Ф}^{(10) †} + \frac{15}{4} Д_{Ф}^{(126)} Д_{Ф}^{(126) †}) Д_{Ф}^{(10)} \\ + & Д_{Ф}^{(10)} {Д_{Ф}^{(10)} Д_{Ф}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Д_{Ф}^{(126)} Д_{Ф}^{(126) †} + Д_{р}^{(126)} Д_{р}^{(126) †})} \\ + & 4 т р (Д_{Ф}^{(10)} Д_{Ф}^{(10) †}) Д_{Ф}^{(10)} + (\frac{9}{4} г_{2 л}^{2} + \frac{9}{4} г_{2 р}^{2} + \frac{15}{4} г_{4 С}^{2}) Д_{Ф}^{(10)}, \\ 16 π^{2} \frac{г Д_{Ф}^{(126)}}{г т} & "=" & (Д_{Ф}^{(10)} Д_{Ф}^{(10) †} + \frac{15}{4} Д_{Ф}^{(126)} Д_{Ф}^{(126) †}) Д_{Ф}^{(126)} \\ + & Д_{Ф}^{(126)} {Д_{Ф}^{(10)} Д_{Ф}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Д_{Ф}^{(126)} Д_{Ф}^{(126) †} + Д_{р}^{(126)} Д_{р}^{(126) †})} \\ + & т р (Д_{Ф}^{(126)} Д_{Ф}^{(126) †}) Д_{Ф}^{(126)} + (\frac{9}{4} г_{2 л}^{2} + \frac{9}{4} г_{2 р}^{2} + \frac{15}{4} г_{4 С}^{2}) Д_{Ф}^{(126)}, \\ 16 π^{2} \frac{г Д_{р}^{(126)}}{г т} & "=" & {Д_{Ф}^{(10)} Д_{Ф}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Д_{Ф}^{(126)} Д_{Ф}^{(126) †} + Д_{р}^{(126)} Д_{р}^{(126) †})} Д_{р}^{(126)} \\ + & Д_{р}^{(126)} {Д_{Ф}^{(10)} Д_{Ф}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Д_{Ф}^{(126)} Д_{Ф}^{(126) †} + Д_{р}^{(126)} Д_{р}^{(126) †})} \\ + & т р (Д_{р}^{(126)} Д_{р}^{(126) †}) Д_{р}^{(126)} + (\frac{9}{2} г_{2 р}^{2} + \frac{15}{4} г_{4 С}^{2}) Д_{р}^{(126)}, \end{array}

$\begin{eqnarray} 16\pi^2\frac{dY^{(10)}_F}{dt}&=&\left(Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F\right)Y^{(10)}_F \nonumber\\ &+&Y^{(10)}_F\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_F Y^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\} \nonumber\\ &+&4{\mathrm{tr}}\left(Y^{(10)}_F Y^{(10)\dagger}_F\right)Y^{(10)}_F +\left(\frac{9}{4}g_{2L}^{2}+\frac{9}{4}g_{2R}^{2} +\frac{15}{4}g_{4C}^{\,2}\right) Y^{(10)}_F,\\ 16\pi^2\frac{dY^{(126)}_F}{dt}&=&\left(Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F\right)Y^{(126)}_F \nonumber\\ &+&Y^{(126)}_F\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\} \nonumber\\ &+&{\mathrm{tr}}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F\right)Y^{(126)}_F +\left(\frac{9}{4}g_{2L}^{2}+\frac{9}{4}g_{2R}^{2} +\frac{15}{4}g_{4C}^{2}\right) Y^{(126)}_F,\\ 16\pi^2\frac{dY^{(126)}_R}{dt}&=&\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\}Y^{(126)}_R \nonumber\\ &+&Y^{(126)}_R\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\} \nonumber\\ &+&{\mathrm{tr}}\left(Y^{(126)}_RY^{(126)\dagger}_R\right)Y^{(126)}_R +\left(\frac{9}{2}g_{2R}^{2} +\frac{15}{4}g_{4C}^{2}\right) Y^{(126)}_R, \end{eqnarray}$ где

g_{2 L}

$g_{2L}$ ,

g_{2 R}

$g_{2R}$ и

g_{4 C}

$g_{4C}$ являются

S U (2)_{L}

$SU(2)_L$ ,

S U (2)_{R}

$SU(2)_R$ и

S U (4)_{C}

$SU(4)_C$ калибровочные константы связи, соответственно." ( Уравнение 24-26 )

Особенно, при чем здесь фактор $\frac{15}{4}$ перед $Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F$ и т.д. откуда?
Почему нет термина $Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R Y^{(10)}_F$ ? Или сформулировать иначе, почему там в первой скобке $Y^{(10)}$ РГЭ в первой скобке только термин $Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F$ , но нет $Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R$ срок?

Используя формулу 2.2 «наивно», я бы тоже получил такой член и, кроме того, никаких числовых множителей, как $\frac{15}{4}$ .

Любые идеи или ссылки будут высоко оценены!

(Первоначальная ссылка на общую формулу: TP Cheng, E. Eichten, and L.-F. Li, Phys. Rev. D9 (1974) 2259)

innisfree

Вы пробовали программу SARAH? Вы можете довольно быстро проверить (или нет) двухконтурность RGE. Конечно, это не дало бы вам того же понимания.

Ответы (1)

Одноконтурные RGE Юкавы

Вы пробовали программу SARAH? Вы можете довольно быстро проверить (или нет) двухконтурность RGE. Конечно, это не дало бы вам того же понимания.

c78rpXnk · Answer 1

Вы искали статьи Махачека и Вона (которые, я полагаю, являются ссылкой [26], цитируемой в книге, на которую вы здесь ссылались)? В этих документах разъясняется, как создавать/использовать RGE. Тем не менее, я постараюсь помочь и вам.

Хотя я не буду касаться этого, так как это кажется очень частным, я предполагаю, что вы предполагаете объединение в той группе, где у вас есть лево-правая симметрия, чтобы дать начало $SU(2) \times U(1)$ плюс глобальные симметрии. Однако прежде всего нужно уточнить каждую из реальных степеней свободы скаляров в вашей модели. Например, дублет Хиггса в СМ имеет 4 реальные степени свободы. То же самое вы должны сделать со своим $\overline{\Delta}$ , $\Sigma$ и $\Phi$ .
Например, чтобы получить RGE для СМ, вам нужно будет пометить Юкавы, следуя нумерации скалярных действительных степеней свободы, независимо от используемой вами нумерации (это полностью зависит от вас). Не забывайте нормировочные коэффициенты $\frac{1}{\sqrt{2}}$ при определении скалярных полей. Каждая матрица Юкавы помечена индексом $a$ (которую вы выбираете, как нумеровать на предыдущем шаге) - это не матрица Юкавы, которая пришла с лагранжианом, а матрица, помеченная реальной степенью свободы и, что более важно...
... чьи внутренние индексы обозначают каждое фермионное поле в теории . Я не знаю, поля ли вы $F$ будут давать фермионы СМ (как это кажется в любом случае), однако вам нужно будет выделить в них каждую внутреннюю степень свободы, то есть ваше электронное поле, ваше мюонное поле (хотя лептоны будут вносить такой же вклад, и то же самое для кварков), ваши лишние лептоны, также кварки и т. д. Они будут обозначать внутренние индексы для каждого $Y^a$ матрица (т. $i,j$ индексы). По крайней мере, в СМ нет проблем поставить другую матрицу в качестве записи для всей матрицы Юкавы, которую вы строите, поскольку лептонная матрица Юкавы (а не $Y^a$ ) имеет одинаковую структуру для каждого аромата.
Сделав это, вы почти закончили, так как $a$ индексы обозначают действительные скалярные степени свободы, которые вы получили в своей теории, так что теперь вам нужно подставить эти матрицы Юкавы в формулу, и, поверьте мне, волшебным образом должен появиться множитель 15/4 (когда я производил расчеты в моем случае, я получил коэффициенты 3/2, 9/2, 21/3 и т. д. после суммирования сокращений с $b$ индекс, хотя он был для другой теории). Эта «магия» исходит из сокращений матриц Юкавы в целом, трасс и т. д., и на первый взгляд неясно, откуда они могут взяться. Я настоятельно рекомендую делать это в mathematica/maple/maxima или любом другом пакете для алгебраических вычислений, который вам нравится, потому что, хотя многие термины внутри $Y^a$ матрицы равны нулю, в любом случае это может быть сложной работой.
Обратите внимание, что это во многом связано с калибровочными числами вашей теории, вам нужно четко знать, какие квантовые числа ваших частиц в вашей калибровочной группе, то есть более сложные числа, такие как индексы Дынкина и Казимира для каждой калибровочной группы, участвующей в калибровочной группе. базовая симметрия, которую вы используете. Вот где появляются факторы, связанные с калибровочными связями.

Я надеюсь, что помог вам, и если я ошибаюсь, пожалуйста, дайте мне знать, чтобы мы оба могли узнать об этом ;-). Ваше здоровье!!!

Одноконтурные RGE Юкавы

Джек

innisfree

Ответы (1)

c78rpXnk

Быстрый и грязный способ интегрировать тяжелые поля

Что не так с неперенормируемой теорией?

Являются ли неперенормируемые теории менее предсказуемыми, чем перенормируемые теории?

Почему и как мягкое нарушение симметрии защищает массу псевдобозона Намбу-Голдстоуна?

1-петлевое массовое расщепление векторных фермионов

Почему массы генерируемых излучением нейтрино конечны?

Как калибровочная инвариантность защищает массы калибровочных бозонов СМ в SUSY от расходящихся радиационных поправок?

Перенормировка ИК и УФ расходимостей

Почему электромагнитная и слабая связи не совпадают в электрослабой шкале?

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки