Как определить оператор зеркальной симметрии для модели Кейна-Меле?

Возьмем за отправную точку известную модель Кане-Меле (КМ) .

Из-за обращения времени (TR), 2-кратного вращения (или инверсии 2D-пространства), 3-кратного вращения и зеркальной симметрии системы сотовой решетки мы можем вывести внутренний спин-орбитальный (SO) член. Более того, если мы приложим пространственно однородное электрическое поле, перпендикулярное двумерной решетке (теперь зеркальная симметрия нарушена), появится (дополнительный) терм SO типа Рашбы.

Чтобы более ясно изложить свой вопрос, я сначала дам более подробное описание описанных выше операций симметрии как в формализме первого, так и во втором квантовании. Далее была установлена ​​трехмерная декартова координата, где двумерная решетка лежит в$xoy$самолет.

Язык первого квантования:

(1) Оператор симметрии TR$\Theta:$ $\Theta\phi(x,y,z)\equiv \phi^*(x,y,z)$, в дальнейшем,$\phi(x,y,z)$представляет собой произвольную волновую функцию для одного электрона.

(2) 2-кратный оператор вращения$R_2:$ $R_2\phi(x,y,z)\equiv \phi(-x,-y,z)$, где мы выбираем среднюю точку связи ближайшего соседа в качестве исходной точки$o$координаты.

(3) 3-кратный оператор вращения$R_3:$ $R_3\phi(\vec{r} )\equiv \phi(A\vec{r})$, где$A=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}{3}& -\sin\frac{2\pi}{3}& 0\\ \sin\frac{2\pi}{3}& \cos\frac{2\pi}{3} & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\vec{r}=(x,y,z)$и мы выбираем узел решетки в качестве начальной точки$o$координаты.

(4) Оператор зеркальной симметрии$\Pi:$ $\Pi\phi(x,y,z)\equiv \phi(x,y,-z)$.

Язык вторичного квантования:

(1) Оператор симметрии TR$T:$ $TC_{i\uparrow}T^{-1}=C_{i\downarrow}, TC_{i\downarrow}T^{-1}=-C_{i\uparrow}$, где$C=a,b$— операторы уничтожения, относящиеся к двум подрешеткам графена.

(2) 2-кратный оператор вращения$P_2:$ $P_2a(x,y)P_2^{-1}\equiv b(-x,-y), P_2b(x,y)P_2^{-1}\equiv a(-x,-y)$,$P_2$унитарна, и мы выбираем среднюю точку связи ближайшего соседа в качестве начальной точки$o$координаты.

(3) 3-кратный оператор вращения$P_3:$ $P_3C(\vec{x})P_3^{-1}\equiv C(A\vec{x}), \vec{x}=(x,y),C=a,b$, где$A=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}{3}& -\sin\frac{2\pi}{3}\\ \sin\frac{2\pi}{3}& \cos\frac{2\pi}{3} \\ \end{pmatrix}$и$P_3$унитарна, мы выбираем узел решетки в качестве начальной точки$o$координаты.

(4) Оператор зеркальной симметрии$M:$????

как видите, вот что я хочу спросить: как определить оператор зеркальной симметрии$M$ с точки зрения языка вторичного квантования для этой двумерной решетчатой ​​системы? Или, может быть, нет четкого определения$M$для этой модели? Заранее спасибо.

Примечания:

(1) Прямой способ проверить ваше определение$M$быть правильным или нет следующим образом: внутренний термин SO$i\lambda\sum_{\ll ij \gg }v_{ij}C_i^\dagger\sigma_zC_j$должен быть инвариантным относительно$M$в то время как термин Рашба$i\lambda_R\sum_{<ij>}C_i^\dagger \left ( \mathbf{\sigma}\times\mathbf{p}_{ij}\right )_zC_j$не будет.

(2)Здесь операция зеркала — это просто отражение в одной из трех пространственных осей (т.е.$(x,y,z)\rightarrow (x,y,-z)$), а не операцию «четности» в контексте «симметрии СРТ» в теории поля.