Оператор импульса, действующий на связанное состояние, не возвращает собственное значение, в отличие от оператора кинетической энергии. Почему?

В конкретном случае задачи о частице в ящике с оператором импульса справиться намного сложнее , чем вы допускаете, но это не главная проблема, которая лежит в основе вашего нынешнего замешательства.

Если вы знаете, что два оператора$A$и$B$ездить, т.е.$[A,B]=0$, то есть два распространенных способа понять последствия, один из которых правильный, а другой — неправильный:

• Вам гарантируется существование по крайней мере одного общего собственного базиса обоих операторов; но

• Вам не гарантируется, что все собственные базы$A$будут собственными основаниями$B$, или наоборот.

(Для других случаев неправильного представления о том, что вторая точка действительно имеет место, см., например, этот ответ или этот .)

Таким образом, наблюдаемое вами «противоречие» присутствует и в случае свободной частицы без ящика: волновая функция$\psi(x)=\cos(kx)$является собственной функцией$\hat H=\frac{1}{2m}\hat P^2$, но это не собственная функция$\hat P$. То есть тот факт, что собственные функции гамильтониана на компактном интервале не являются собственными функциями импульса, неудивителен и не специфичен для этой конфигурации.

Но, тем не менее, вы все равно можете спросить что-то вроде

ну ладно, некоторые$\hat H$собственные функции в задаче о частице в ящике не$\hat P$собственные функции, и это не проблема, но$[\hat H,\hat P]=0$по-прежнему верно, так что не должен ли я гарантировать общий собственный базис, даже если он не тот, с которого я начал?

и это резонный вопрос. Здесь происходит то, что тонкости с компактно-интервальным оператором импульса начинают проявляться на гораздо более глубоком уровне, чем просто коммутация: полный результат выглядит следующим образом:

Если два самосопряженных оператора$A$и$B$коммутируют, то существует по крайней мере один общий собственный базис,

и он ломается, потому что$\hat P$-in-a-box не является самосопряженным оператором: он симметричен , но у него есть проблемы с предметной областью, которые не позволяют ему быть самосопряженным . Последствия этого настолько глубоки, насколько это возможно: в этом гильбертовом пространстве просто нет собственного базиса импульса. Вы можете расширить оператор импульса, чтобы сделать его самосопряженным; это расширение не уникально, но есть разумный выбор (установка$\alpha=0$в ответе В. Моретти), что близко к тому, чтобы сделать$\hat H$квадрат расширенного$\hat P_\alpha$, но в конечном итоге это не сработает, так как у них разные домены. (точнее, область$\hat H$содержится в домене$\hat P_\alpha$, но собственные функции$\hat P_\alpha$не попадают в это подпространство.)

Чтобы добавить некоторый контекст к ответу Эмилио Писанти, ваш вопрос проистекает из вашего недостаточного понимания решающей роли функционального анализа в квантовой механике. Эта роль определенно не прописана в стандартном университетском образовании и отсутствует в большинстве книг, служащих учебниками.

Когда вы говорите: «Мы знаем, что$[H,P] = i\hbar \frac{d V(x)}{dx}$", вы ДОЛЖНЫ понимать, что существует целая библиотека по функциональному анализу (я могу дать вам шесть книг навскидку), которая могла бы служить доказательством этого утверждения, излагая точные условия, при которых это верно.

Так что вы, возможно, не понимаете ответа на этот вопрос, который вам любезно предоставили, но я уверен, что вы понимаете, что это не ваша вина, что книги, которые вы читали, не содержали элементов функционального анализа в (подстроенных) гильбертовых пространствах. с приложением в квантовой механике.