Эрмитовость лапласиана (и других операторов)

В общем случае нужно записать интегралы для$\langle\phi|\Delta\psi\rangle$и$\langle\Delta\phi|\psi\rangle$и преобразовать их друг в друга с помощью интегрирования по частям.

Эрмитовость не зависит от используемого базиса (матричного представления). Но это зависит от наложенных граничных условий, так как необходимо убедиться, что интегрирование по частям не порождает неэрмитовых граничных членов.

С граничными условиями, обычно используемыми в квантовой механике (квадратичная интегрируемость в$R^n$), это самосопряженный оператор и, в частности, эрмитов.

Да.

Эрмитова значит самосопряженная по отношению к сопряженно-линейной форме. В этом случае форма$\langle\phi|\psi\rangle=\int\phi\psi^*$, где интеграл заканчивается${\mathbb R}^3$. Вы знаете это, потому что$p=\psi\psi^*$дает вероятность найти частицу на$x$, так$\langle\psi|\psi\rangle=\int p=1$для одной частицы. Это не должно быть доказательством, просто способ исключить почти любую другую возможную сопряженно-линейную форму, о которой вы можете подумать.

Самосопряженный означает, что$\langle\nabla^2\phi|\psi\rangle=\langle\phi|\nabla^2\psi\rangle$. В этом случае,

$$\int(\nabla^2\phi)\psi^* =\int\phi(\nabla^2\psi)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*.$$ Итак, давайте сделаем это. При свободном использовании интегрирования частями и вещами, исчезающими в бесконечности, когда они должны исчезать, $$\begin{align} \int(\nabla^2\phi)\psi^* &=\sum\int\frac{d^2\phi}{d x_i^2}\psi^* =-\sum\int\frac{d\phi}{d x_i}\frac{d\psi^*}{d x_i}\\ &=-\sum\left(\int\frac{d\psi}{d x_i}\frac{d\phi^*}{d x_i}\right)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*. \end{align}$$