Можно ли определить уравнение Шредингера для наблюдаемой другой величины?

Вы можете решить это уравнение, если хотите, но решение не обязательно будет что-то значить. Гамильтониан напрямую связан с эволюцией во времени даже в классической механике уравнением

$$\frac{df}{dt} = \{H, f\}$$ где правая часть — скобка Пуассона. Даже в лагранжевой механике гамильтониан выступает как сохраняющаяся величина из симметрии переноса времени. А в специальной теории относительности гамильтониан должен быть связан со временем, если импульс связан с пространством.

Дело в том, что связь между гамильтонианами и временем действительно глубока, поэтому неясно, что будет означать ваше альтернативное уравнение Шредингера. Если бы у вас действительно была волновая функция, удовлетворяющая вашему уравнению, то$K$будет просто равно гамильтониану, и не имеет смысла называть его как-то иначе.

---

Однако, если бы мы не хотели сосредотачиваться на эволюции во времени, мы могли бы вместо этого заменить$t$с формальным параметром$\alpha$и определить

$$\frac{d}{d\alpha} \psi = - \frac{i}{\hbar} K \psi.$$ Это уравнение имеет смысл для общего$K$, и ее решение может немного рассказать вам о физическом смысле$K$. Например, если вы выбрали$K$чтобы быть импульсом, вы получите $$\psi(x, \alpha) = \psi(x - \alpha).$$ То есть преобразование, создаваемое импульсом, — это просто пространственный перенос, как вы знаете из классической механики. Если вы переключитесь на картинку Гейзенберга и сделаете то же самое, результат будет прямо аналогичен тому, как производящие функции (здесь,$K$) соответствуют однопараметрическим семействам канонических преобразований в классической механике.