Оператор плотности частиц во второй форме квантования

$\newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\psih}{\hat{\psi}}$Это проработано на стр. 20 Феттера и Валецки . Я добавлю здесь немного дополнительных деталей.

Ваш оператор плотности частиц$n(\bx)=\sum_\alpha\delta(\bx-\bx_\alpha)$находится в первом квантованном виде и$\hat{n}(\bx)=\psih^\dagger(\bx)\psih(\bx)$является вторично-квантованным.

Когда общий одночастичный оператор записывается в форме первого квантования$J=\sum_\alpha J(\bx_\alpha)$, вторично-квантованная форма:

$$\begin{align} \hat{J} &\equiv \sum_{rs}\langle r|J|s\rangle \hat{c}_r^\dagger \hat{c}_s\\ &= \sum_{rs} \int d\bx' \psi^*_r(\bx') J(\bx') \psi_s(\bx') \hat{c}_r^\dagger \hat{c}_s\\ &= \int d\bx' \psih^\dagger(\bx') J(\bx') \psih(\bx') \end{align}$$

Последнее равенство следует из$\psih(\bx)\equiv \sum_s \psi_s(\bx) \hat{c}_s$.

В случае оператора плотности частиц:

$$\begin{align} \hat{n}(\bx) &= \int d\bx' \psih^\dagger(\bx') \delta(\bx-\bx') \psih(\bx')\\ &= \psih^\dagger(\bx) \psih(\bx) \end{align}$$

Пожалуйста, дайте мне знать, если вам нужна дополнительная информация о каком-либо из этих шагов. Для несколько релевантного обсуждения отношения между операторами первого и второго квантования см. мой ответ здесь: Второе квантование . В этом ответе я подробно рассмотрел только оператор взаимодействия двух тел. Я мог бы сделать то же самое для (более простых) операторов с одним телом, если бы это помогло.