Определение скорости в классической механике

1. Прежде всего, если базис ОП не зависит от времени, то два определения (1) и (2) совпадают.

2. В: К чему относится временная зависимость базиса ОП? A: Это зависимость от времени базы OP относительно другой реперной системы отсчета, которая в ньютоновской механике обычно считается инерциальной системой отсчета . Если это так, то определение (1) — это скорость относительно инерциальной системы отсчета, а определение (2) — это скорость относительно базиса ОП. Обратите внимание, что ускоренная система отсчета приводит к фиктивным силам .

3. Пример. Если в основе ОП лежит привязка к Земле, то определение (2) используется на практике для измерения скоростей на/у поверхности Земли, скажем, скорости автомобилей, скорости ветра и т. д.

Ваши уравнения оказываются одинаковыми, когда мы используем декартовы координаты. Это потому, что каждая координата не зависит от местоположения в пространстве. Например, в декартовой точке$(1,1,1)$,$\hat x$направление такое же, как и в декартовой точке$(-1,-1,-1)$. Однако в сферических координатах направление$\hat r$отличается в каждой из этих пространственных координат (и на самом деле в этом примере они антипараллельны).

Итак, с учетом сказанного, если у нас есть общий вектор с пространственной и временной зависимостью, в сферических координатах неверно, что его производная по времени равна$\left(\frac{dr_1}{dt},\frac{dr_2}{dt},\frac{dr_3}{dt}\right)$, поскольку это предполагает постоянное направление единичных векторов, составляющих основу нашей системы координат.

Более явно, вектор в любом трехмерном базисе задается выражением$\sum_{i=1}^3r_i\hat {e_i}$, поэтому производная по времени общего вектора$^*$:

В декартовых координатах$\frac{d\hat{e_i}}{dt}=0$, так что это показывает эквивалентность ваших двух методов в вашем вопросе для декартовых координат. Но$\frac{d\hat{e_i}}{dt}\neq0$в сферических координатах, потому что, как мы видели, единичные векторы меняют направление, когда мы перемещаемся в пространстве.

$^*$Еще одна вещь, которую следует иметь в виду, это то, что сам вектор положения не всегда$\vec r=\sum_{i=1}^3r_i\hat {e_i}$где все$\hat{e_i}\neq 0$. Например, в сферических координатах$\vec r=r\hat r$, поскольку вектор положения всегда указывает от начала координат к положению частицы. Таким образом, скорость в сферических координатах оказывается равной$\vec v=\dot r\hat r+r\dot{\hat r}$

Это может быть проблема, которую вы обсуждаете в комментариях. В декартовых координатах мы можем сказать, что если мы находимся в точке$(x,y,z)$тогда наш вектор положения$x\hat x+y\hat y+z\hat z$Но если мы используем что-то вроде сферических координат, находясь в точке$(r,\phi,\theta)$означает, что вектор положения$r\hat r$, нет$r\hat r+\phi\hat\phi+\theta\hat\theta$.

В общих чертах, находясь в пространственной координате$(r_1,r_2,r_3)$не означает наличие вектора положения$r_1\hat{r_1}+r_2\hat{r_2}+r_3\hat{r_3}$. Вы даже можете возразить, что то, как вы указываете векторы, не зависит от того, как вы указываете свои пространственные координаты. Например, я мог бы выразить свои пространственные координаты в декартовых координатах, но использовать сферическую основу:$\vec r=r(x,y,z)\hat r(x,y,z)$