Почему скорость является вектором?

Если мы хотим быть математически точными, просто сказать, что «скорость — это вектор», недостаточно.

Определение скорости - это производная по времени от положения . В математических терминах это означает — независимо от того, думаем ли мы о положении как о точке в$\mathbb{R}^n$или более общее многообразие, где само положение не является вектором - скорости являются касательными векторами к кривым$x(t)$в нашем позиционном пространстве. В общем, вы можете добавить два касательных вектора в одну и ту же точку , потому что они являются векторами в одном и том же касательном пространстве, но вы не можете добавить «скорость автомобиля А» к «скорости автомобиля Б», если только два автомобиля не сталкиваются в данный момент, и, следовательно, эти два вектора живут в одной и той же точке .

Сложение двух скоростей в одной и той же точке — это просто способ выразить, что это эквивалентно утверждению: «Этот предмет движется со скоростью$\sqrt{2} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$северо-запад" и "Эта штука движется на$1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$на север и движется на$1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$запад" - "и" соответствует дополнению.

С точки зрения линейной алгебры результирующий вектор не обязательно должен иметь физическую интерпретацию в терминах составляющих векторов, он просто должен быть некоторым вектором скорости (т.е. что-то может иметь такую ​​скорость). Однако на самом деле суммирование скоростей может иметь физический смысл. Рассмотрим, например, человека по имени Боб, бегущего по палубе движущегося корабля. Скорость Боба относительно воды будет$\vec{v}_\text{Bob-water}=\vec{v}_\text{Bob-ship}+\vec{v}_\text{ship-water}$.

Все становится немного сложнее в теории относительности, где скорости не суммируются, как указано выше. Чтобы все было ниже скорости света, скорости объединяются по релятивистской формуле сложения скоростей . Так что на самом деле мы не обязательно имеем сумму физических скоростей, являющуюся другой физической скоростью. Это проясняется в более сложных трактовках теории относительности, где вместо «3-скорости»$\vec{v}$мы рассматриваем «4-скорость», заданную (в плоском пространстве-времени) выражением

$$V=\gamma(c,\vec{v}).$$ Это описывает скорость объекта в пространстве-времени, включая «скорость во времени» в качестве$0^\text{th}$компонент. На самом деле это все единичные векторы с нормой Минковского.$V^2=\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu=c^2$и поэтому не удивительно, что$V\neq V_1+V_2$на любой выбор$V_1,V_2$. Пространство, в котором находятся векторы скорости, — это просто пространство 4-векторов, касательных к определенной точке пространства-времени (известное как касательное пространство ), которое является векторным пространством.

Но что значит добавить скорости?

Кажется, это то, с чем вы боретесь. Чтобы интуитивно понять, что значит складывать векторы скорости, рассмотрим небольшой пример.

Допустим, есть пушка, которая стреляет ядрами со скоростью 300 км/ч под углом 30 градусов к горизонту.
И вы ставите его на машину, которая движется по горизонтальной поверхности со скоростью 100 км/ч.

Чтобы получить результирующую скорость ядра при выстреле, мы делаем сложение векторов, т.е. добавляем вектор скорости пушечного ядра к вектору скорости автомобиля.

Уже есть много ответов. Некоторые из них упоминают композицию скоростей как пример векторной суммы скоростей. Это заблуждение. Если бы все было так просто, то не было бы места для релятивистской композиции скоростей, которая не является векторной суммой. Чтобы установить правильное соответствие между физическим понятием скорости и свойствами векторного пространства, нужно очень четко представлять себе, какие объекты хотелось бы считать элементами векторного пространства. Бессмысленно говорить о скорости, не уточняя скорость чего .

Скорость — это физическое свойство физической системы . Точнее, мы говорим, что точечный объект имеет скорость$\bf v$вовремя$t$, если${\bf v}= \frac{{\mathrm d}{\bf r}}{{\mathrm d }t}$, где${\bf r}(t)$есть траектория тела как функция времени.

Собственно, такое определение уже позволяет нам говорить, что скорости являются элементами векторного пространства, наследующими структуру векторного пространства от структуры положений (или перемещений).

Однако мы могли бы исследовать алгебраическую структуру возможного набора скоростей независимо. В таком случае нам нужно найти оперативную процедуру для придания скорости телу и сравнения различных скоростей одного и того же тела. Ключевым моментом является то, что нужная нам сумма должна быть суммой двух скоростей одного и того же тела . Это исключает сложение скоростей в разных системах отсчета. Нам нужны свойства скорости в одной системе отсчета, прежде чем спрашивать об изменениях в системе отсчета.

Определение позволяет отображать любую скорость тела в линейную аппроксимацию перемещений d${\bf r}= {\bf v}{\mathrm d}t$. Простой способ обеспечить физический механизм для суммирования скорости${\bf v}'$до скорости${\bf v}$через импульсную силу, как в случае упругого столкновения с другим телом: если мы знаем, что импульсивная сила$\bf F_1$на покоящееся тело будет производить скорость$\bf v_1$и еще одна импульсивная сила$\bf F_2$будет производить скорость$\bf v_2$, мы можем определить сумму$\bf v_1+v_2$как скорость, возникающая в результате одновременного присутствия$\bf F_1$и$\bf F_2$.

Начиная с этого определения суммы скоростей, нам остается проверить на опыте, что оно удовлетворяет соответствующим требованиям к векторному пространству (наличию нейтрального элемента, наличию обратного и другим аксиомам векторного пространства). космос.

В общем, всякий раз, когда вы добавляете любые два вектора из одного и того же векторного пространства, вы получаете вектор, который также является членом этого векторного пространства.

То же самое можно сказать и о векторах скорости. Векторы скорости также образуют векторы в касательном векторном пространстве, наборе всех трехмерных пространственных векторов (или сколько угодно измерений).$n$вы работаете) по касательной к позиционным кривым${\mathbb R}^n$.

Итак, если вы возьмете два вектора скорости из этого пространства и добавите их вместе, результатом будет вектор в том же векторном пространстве, полностью аналогичный приведенному выше примеру из линейной алгебры.$^1$.

Для любого векторного пространства$\mathbb V$, сложение векторов можно рассматривать как карту$+ : \mathbb V \times \mathbb V\rightarrow \mathbb V$, который отображает два вектора${\bf u, v} ∈ \mathbb V$к их сумме${\bf {u + v}} \in \mathbb V$

Что касается вашего примера сложения скорости одного автомобиля со скоростью другого автомобиля, то, хотя это может иметь математический смысл, на самом деле это не имеет смысла физически, поскольку скорость одного автомобиля не зависит от скорости другого автомобиля.

Однако, если учесть, что, например, на одну машину действуют две силы, одна из которых толкает машину со скоростью$\bf v$а другой со скоростью$\bf u$, то автомобиль будет иметь равнодействующую скорость$\bf u+v$, где векторы$\bf u$,$\bf v$и$\bf u+v$все являются членами одного и того же векторного пространства.

$^1$Обратите внимание, что сложение вектора скорости в теории относительности не так прямолинейно, поскольку простое линейное сложение больше не выполняется, и время рассматривается наравне с пространством. Точки в пространстве (пространстве-времени) определяются четырехвекторами положения. В этом случае векторы скорости принадлежат пространству касательных 4-векторов, которые касаются точек на кривых в пространстве-времени .

Интересный вопрос . Я перефразирую вопрос так: «Есть ли алгебра скоростей?» Могу ли я добавить векторы скорости физически осмысленным способом? Очевидно, что существует алгебра силы, поскольку я могу добавить векторы силы, так почему бы не добавить векторы скорости.

Быстрый ответ . Ответ отрицательный, потому что одних только векторов скорости недостаточно для описания движения твердого тела. Движение тела описывается осью вращения, скоростью вращения и любой скоростью, параллельной оси вращения (теорема Шазля). Чтобы добавить движения, вам нужно решить скорость в общей точке пространства.

Связанное ограничение возникает с векторами силы, поскольку вы можете добавлять их только в том случае, если их хвосты находятся в одной точке (используя правило параллелограмма).

Исключением из приведенного выше правила является только чистый перевод, например, человек, идущий в скоростном поезде.

Однако вы можете добавить скорости, когда рассматриваете вектор, который содержит как линейную, так и угловую части скорости. Такой вектор имеет 6 компонентов в 3D и называется твист . На плоскости такой вектор имеет 3 компоненты.

Я хочу доказать вам, что вы можете выполнять алгебру с поворотами, ведь именно так моделируется большая часть кинематики роботизированных механизмов.

Движение конечного эффектора — это просто сумма всех относительных поворотов в каждом суставе.

$$\boxed{ \boldsymbol{t}_{\rm end} = \sum_i^n \boldsymbol{t}_i }$$

Вышеупомянутое добавление скорости (повороты).

Упрощенный подробный пример

Рассмотрение только плоских движений упрощает ситуацию и позволяет нам визуализировать любую ось вращения как точку на плоскости.

Здесь соединены два одинаковых тела №1 и №2, каждое с относительной скоростью вращения$\dot \theta_1$и$\dot \theta_2$. Корневая булавка находится в точке A , относительная булавка в B и конечная точка интереса в C .

Скорость каждой частицы на теле по мере удаления от точки вращения меняется линейно до точки B , а затем снова линейно с разной скоростью до точки C. Это пунктирные синие линии, которые вы видите выше, а вертикальные стрелки — это векторы скорости в точках B и C соответственно.

Очевидно, что вы не можете просто добавить скорости к состоянию$v_C = v_A + v_B$, но вы можете добавить скорости вращения.

Здесь скорость вращения тел

$$\begin{aligned} \omega_1 & = \dot \theta_1 & & \text{link #1} \\ \omega_2 & = \omega_1 + \dot \theta_2 & & \text{link #2} \\ \end{aligned}$$

Присвоим внеплоскостной вектор $\hat{z} и приведем вышеизложенное в векторную форму

$$\begin{aligned} \vec{\omega}_1 & = \hat{z} \dot \theta_1 & & \text{link #1} \\ \vec{\omega}_2 & = \vec{\omega}_1 + \hat{z} \dot \theta_2 & & \text{link #2} \\ \end{aligned}$$

А это сложение векторов угловой скорости. А как же линейные скорости? Вот что ты делаешь:

Какова линейная скорость #1 в B ?

$$\vec{v}_B = \vec{\omega}_1 \times \vec{ \ell}$$

И какова относительная линейная скорость № 2 в B ? Ну, это ноль , так как скорость двух тел во многом совпадает со скоростью на стыке. Таким образом, скорость № 2 в точке B также равна$\vec{v}_B$что делает скорость на конце равной

$$\vec{v}_C = \vec{v}_B + \vec{\omega}_2 \times \vec{\ell}$$

Или вы можете напрямую найти скорость в точке C , используя сложение векторов для скоростей. Учитывать$\vec{v}_C$ как сложение двух векторов в общем месте, точке C .

Первый вектор скорости — это вектор скорости тела № 1, если оно простирается до точки C.

$$\vec{v}_{C1} = \vec{\omega}_1 \times 2 \vec{\ell}$$

Второй вектор скорости - это вектор относительной скорости сустава, также продолженный до точки C.

$$\vec{v}_{C2} = \hat{z} \dot{\theta}_1 \times \vec{\ell}$$

и теперь мы можем добавить векторы скорости

$$\boxed{ \vec{v}_C = \vec{v}_{C1} + \vec{v}_{C2} }$$

Вышеизложенное интерпретируется как скорость тела № 2 в любой точке, равна скорости тела № 1 в той же точке плюс относительная скорость между двумя телами также в той же точке .

---

• Связанная вики-статья Теорема относительного центра вращения .

Если два плоских твердых тела соприкасаются и каждое тело имеет свой собственный центр вращения, то относительный центр вращения между телами должен лежать где-то на линии, соединяющей два центра.

Известно, что линейная комбинация двух точек — это точка где-то на линии, соединяющей точки. Вышеприведенное правило как раз и состоит в том, что каждый поворот является точкой в ​​пространстве для его центра вращения, а сложение двух поворотов представляет собой линейную комбинацию$\boldsymbol{t}_{\rm rel} = \boldsymbol{t}_B - \boldsymbol{t}_A$

Интуитивно вы можете видеть это так. Представьте, что вы ведете машину и едете по извилистой дороге. Очевидно, когда вы проходите дорогу, вы должны менять направление и двигаться с определенной скоростью. Из этого изменения направления легко увидеть, что одного числа недостаточно для описания движения вашего автомобиля.

Скорость — это указатель, который сообщает вам, куда движется частица и с какой скоростью она там движется. Это выражается как

$$\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t},$$ где$\vec{r}$- вектор положения частицы. Хотя сложение скоростей двух независимых автомобилей часто не имеет физического смысла, оно не описывает движение чего-либо, но если по каким-либо причинам приходится рассматривать автомобили как единую систему и можно предположить, что они имеют одинаковую массу, то центр масс системы $$\vec{R}_{\mathrm{cm}}=\frac{\vec{r}_{\mathrm{car,A}} + \vec{r}_{\mathrm{car,B}}}{2},$$ скорость центра масс можно найти, дифференцируя это отношение, $$\vec{V}_{\mathrm{cm}}=\frac{\vec{v}_{\mathrm{car,A}} + \vec{v}_{\mathrm{car,B}}}{2}.$$ Надеюсь, это может дать ОП представление о том, что означает добавление скоростей.

Как вы заметили, лучший способ думать о векторах - это то, что они являются элементами векторного пространства. В этом случае векторное пространство, в котором «живет» скорость, есть$\mathbb{R}^3$, "умножить" на некоторую подходящую единицу с обычными операциями сложения и масштабирования.

Векторы не определяются свойствами «иметь величину и направление», вопреки тому, что вы пишете: скорее, векторы представляют собой полезную математическую конструкцию, которая позволяет нам одновременно кодировать информацию о величине и направлении в единый пакет, которым мы затем можем манипулировать в полезных целях. и интуитивно понятные способы.

В частности, любой вектор в$\mathbb{R}^3$можно представить как стрелку из начала координат в точку. Это начало не является началом пространства, а скорее началом, которое вы можете поместить туда, где вам нужно «использовать» вектор, и тогда стрелку следует понимать как указывающую в закодированном направлении, а длина - это закодированная величина. В математическом формализме вектор в векторном пространстве задается тройкой действительных чисел:

$$\mathbf{v} := \langle v_x, v_y, v_z \rangle$$

и мы определяем его величину как

$$||\mathbf{v}|| := \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

и его «направление» сферическими углами

$$(v_\theta, v_\phi) := \left(\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{v_z}\right), \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)\right)$$

То есть мы указываем «алгоритмы декодирования», которые позволяют извлекать из закодированного кортежа релевантную информацию, которые основаны на геометрии: понимая элементы кортежа как координаты, они следуют из теоремы Пифагора и тригонометрии.

Теперь, чтобы понять, почему скорость является вектором , мы должны перейти к определению. Определение является производной позиции:

$$\mathbf{v}(t) := \left[\frac{dX}{dt}\right](t)$$

Однако вот в чем хитрость: позиция,$X(t)$, не является вектором. Скорее, это точка . Точки также представлены тройками в$\mathbb{R}^3$, но семантика отличается: если хотите, точки и векторы — это разные «типы данных» (что-то, что мы можем уточнить, используя типизированный язык для построения нашей математики). В частности, точка представляет собой место в реальном пространстве. Форма структурных точек, по крайней мере, в евклидовой геометрии, в которой происходит элементарная механика, называется аффинным пространством . Мы не можем складывать баллы, но можем их вычитать: и вычитание двух баллов$X_1$и$X_2$дает вектор. То есть,$X_2 - X_1$имеет "тип данных"$\mathrm{Vector}$, а не тип данных$\mathrm{Point}$. Семантически этот вектор кодирует расстояние, которое вам нужно пройти, чтобы$X_1$к$X_2$при движении по прямой линии, и направление, в котором вы должны столкнуться, чтобы выполнить это движение.

А скорость, как производная по времени от положения, определяется разностным коэффициентом ...

$$\left[\frac{dX}{dt}\right](t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t}$$

... и вы можете видеть в числителе, у нас есть

$$X(t + \Delta t) - X(t)$$

... разница позиций, т.е. очков! А что это за объект? Итак, что такое скорость?

В теории относительности векторы скорости не образуют векторного подпространства. Я уточняю это и поясняю, что я имею в виду, ниже.

Рассмотрим пространство-время Минковского с обычными координатами$(t,x,y,z)$, и "неподвижный" наблюдатель$n^\mu = (1,0,0,0)$. Скорость, измеренная в системе отсчета этого наблюдателя, представляет собой вектор$\mathbf v$который ортогонален$\mathbf n$, значение$n_\mu v^\mu = 0$. (Следовательно, это пространственный или нулевой вектор.) Для объектов, движущихся медленнее света, мы имеем$v_\mu v^\mu < 1$(с использованием$c = 1$), и я принимаю это как определение «скорости» для целей этого ответа. Эти$\mathbf v$являются векторами в том смысле, что они являются элементами пространства Минковского, которое является 4-мерным векторным пространством (плюс дополнительная структура), однако они не образуют его векторное подпространство.

Рассмотрим относительную скорость$(0,2/3,0,0)$, который описывает движение со скоростью 2/3 скорости света в$x$-направление. Суммирование этого вектора с самим собой или умножение, скажем, на число 10 возвращает векторы, которые не лежат в пределах нашего набора скоростей.

Однако есть и другие естественные структуры, которые вы можете определить в «Пространстве трех скоростей», как его называет Цампарлис (2019, стр.$\S6.5$,$\S15.4.3$). Он определяет на нем некоторую риманову метрику, для которой оно становится трехмерным многообразием постоянной отрицательной кривизны. Думаю, вы могли бы определить групповую структуру, соответствующую релятивистской композиции скоростей, которая не является сложением векторов, унаследованным от пространства Минковского. Это сделало бы его группой Ли, то есть не векторным пространством, но все же хорошим объектом. Вероятно, это уже было сделано. Цампарлис говорит, что определенные результаты «существуют уже давно».

Если автомобиль A имеет скорость v⃗, можем ли мы прибавить эту скорость к скорости автомобиля B и получить другой вектор? Находится ли скорость автомобиля B в том же векторном пространстве? Каков физический смысл такого добавления векторов?

Добавление этих векторов может быть математически определено тогда и только тогда, когда вы оговариваете, что они действительно принадлежат одному и тому же векторному пространству. Чего на самом деле у них нет.

Автомобиль А имеет скорость в собственном векторном пространстве. Автомобиль B имеет скорость в собственном векторном пространстве.$A+B$поэтому является недействительным.

Однако, если вы измерите скорость A и используете положение автомобиля B в качестве точки отсчета, вы получите еще одно векторное пространство, элементами которого являются относительные скорости двух автомобилей.

То, что векторные пространства математически идентичны, не означает, что они одинаковы.