Определение тензора Римана для ненулевого кручения

Из определения тензора Римана имеем:

$$\mathbf{R}\left( \mathbf{z},\mathbf{v},\mathbf{w}\right)=\nabla_{\mathbf{[v}}\nabla_{\mathbf{w}]}\mathbf{z}-\nabla_{[\mathbf{v},\mathbf{w}]}\mathbf{z} \label{riemannnew}$$

и вычисление координат$\mathbf{R}$в координатной основе получаем:

$$R^a_{\hphantom{a}bcd}=\partial_c\Gamma^a_{\hphantom{a}bd}-\partial_{d}\Gamma^a_{\hphantom{a}bc}+\Gamma^a_{\hphantom{a}\mu c}\Gamma^\mu_{\hphantom{a}bd}-\Gamma^a_{\hphantom{a}\mu d}\Gamma^\mu_{\hphantom{a}bc}$$

Я нахожу другой способ вычислить коэффициент для тензора Римана с не исчезающим кручением:

$$[\nabla_c,\nabla_d]V^a=2\nabla_{[c}\nabla_{d]}V^a = 2\partial_{[c}\nabla_{d]}V^a-2\Gamma^e_{\hphantom{e}[dc]}\nabla_eV^a+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\nabla_{d]}V^e \nonumber \\ = 2\partial_{[c}(\partial_{d]}V^a+\Gamma^a_{\hphantom{a}|e|d]}V^e)+2S^e_{\hphantom{a}cd}\nabla_eV^a+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}(\partial_{d]}V^e+\Gamma^e_{\hphantom{a}|b|d]}V^b) \nonumber \\ = 2 \partial_{[c}\Gamma^a_{\hphantom{a}|b|d]}V^b-2 \Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\partial_{d]}V^e+2S^e_{\hphantom{a}cd}\nabla_eV^a+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\partial_{d]}V^e+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\Gamma^e_{\hphantom{a}|b|d]}V^b= \nonumber \\ =2(\partial_{[c}\Gamma^a_{\hphantom{a}|b|d]}+\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\Gamma^e_{\hphantom{a}|b|d]})V^b + 2S^e_{\hphantom{a}cd}\nabla_eV^a \tag{1}$$

где первая скобка — это тензор Римана-Картана, а второй член — часть, обусловленная ненулевым тензором кручения.

Мой вопрос:

Первый член первого определения$\nabla_{\mathbf{[v}}\nabla_{\mathbf{w}]}\mathbf{z}$является вторым уравнением (1), но только первый член второго уравнения является тензором Римана. Как я могу решить эту проблему? Является ли определение тензора Римана неполным?